問題は、与えられた級数 $S = 1 + 4x + 7x^2 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$ の和を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、与えられた級数 $S = 1 + 4x + 7x^2 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$ の和を求めることです。

2. 解き方の手順

この級数は、等差数列と等比数列の積の和の形をしています。

まず、Sをそのまま書き出します。

$S = 1 + 4x + 7x^2 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$

次に、両辺にxを掛けます。

$xS = x + 4x^2 + 7x^3 + \dots + (3n-2)x^{n}$

上の2つの式を引き算します。

$S - xS = (1 + 4x + 7x^2 + \dots + (3n-2)x^{n-1}) - (x + 4x^2 + 7x^3 + \dots + (3n-2)x^{n})$

$S(1-x) = 1 + (4x-x) + (7x^2 - 4x^2) + \dots + ((3n-2)x^{n-1} - (3n-5)x^{n-1}) - (3n-2)x^{n}$

$S(1-x) = 1 + 3x + 3x^2 + \dots + 3x^{n-1} - (3n-2)x^{n}$

$S(1-x) = 1 + 3(x + x^2 + \dots + x^{n-1}) - (3n-2)x^{n}$

括弧の中は、初項x、公比x、項数n-1の等比数列の和なので、

$x + x^2 + \dots + x^{n-1} = \frac{x(1-x^{n-1})}{1-x}$

これを代入すると、

$S(1-x) = 1 + 3\frac{x(1-x^{n-1})}{1-x} - (3n-2)x^{n}$

両辺を$(1-x)$で割って、Sについて解きます。

$S = \frac{1}{1-x} + \frac{3x(1-x^{n-1})}{(1-x)^2} - \frac{(3n-2)x^{n}}{1-x}$

$S = \frac{(1-x) + 3x(1-x^{n-1}) - (3n-2)x^{n}(1-x)}{(1-x)^2}$

$S = \frac{1 - x + 3x - 3x^{n} - (3n-2)x^{n} + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

$S = \frac{1 + 2x - 3x^{n} - (3n-2)x^{n} + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

$S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^{n} + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^{n} + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$