関数 $f(x, y)$ が次のように定義されている： $f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ このとき、偏微分係数 $\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0)$ が存在するかどうかを判定し、存在する場合はその値を、存在しない場合は 100 を入力する。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y)$ が次のように定義されている：

$f(x, y) = \begin{cases}

\frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\

0 & (x, y) = (0, 0)

\end{cases}$

このとき、偏微分係数 $\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0)$ が存在するかどうかを判定し、存在する場合はその値を、存在しない場合は 100 を入力する。

2. 解き方の手順

偏微分係数 $\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0)$ は、偏微分の定義に従って計算する。

$\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h}$

$f(0, 0) = 0$ であり、$h \neq 0$ のとき $f(h, 0) = \frac{h \cdot 0}{\sqrt{h^2 + 0^2}} = \frac{0}{\sqrt{h^2}} = 0$ である。

したがって、

$\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$

偏微分係数 $\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0)$ は存在し、その値は 0 である。

3. 最終的な答え

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