与えられた3つの極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x\to\infty} 2^{-3x}$ (2) $\lim_{x\to-\infty} 2^{-2x}$ (3) $\lim_{x\to\infty} \log_2 \frac{4x-1}{x+2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限を計算する問題です。

(1) $\lim_{x\to\infty} 2^{-3x}$

(2) $\lim_{x\to-\infty} 2^{-2x}$

(3) $\lim_{x\to\infty} \log_2 \frac{4x-1}{x+2}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to\infty} 2^{-3x}$ について

$x$ が無限大に近づくと、$-3x$ は負の無限大に近づきます。

したがって、$2^{-3x}$ は $2^{-\infty} = \frac{1}{2^\infty}$ となり、0 に近づきます。

(2) $\lim_{x\to-\infty} 2^{-2x}$ について

$x$ が負の無限大に近づくと、$-2x$ は正の無限大に近づきます。

したがって、$2^{-2x}$ は $2^{\infty}$ となり、無限大に発散します。

(3) $\lim_{x\to\infty} \log_2 \frac{4x-1}{x+2}$ について

まず、$\frac{4x-1}{x+2}$ の $x \to \infty$ での極限を考えます。

分子と分母を $x$ で割ると、

$\frac{4x-1}{x+2} = \frac{4-\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}$ となります。

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$、$\frac{2}{x} \to 0$ なので、

$\lim_{x\to\infty} \frac{4x-1}{x+2} = \frac{4-0}{1+0} = 4$

したがって、

$\lim_{x\to\infty} \log_2 \frac{4x-1}{x+2} = \log_2 4 = 2$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 無限大

(3) 2