与えられた積分 $\int \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 2}} \, dx$ を、変数変換 $x + \sqrt{x^2 + 2} = t$ を用いて計算する問題です。既に計算の途中までが示されており、$x = \frac{t^2 - 2}{2t}$ および $\frac{dx}{dt} = \frac{t^2 + 2}{2t^2}$ が与えられています。この情報を用いて、積分の残りの部分を計算し、最終的な結果を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 2}} \, dx$ を、変数変換 $x + \sqrt{x^2 + 2} = t$ を用いて計算する問題です。既に計算の途中までが示されており、$x = \frac{t^2 - 2}{2t}$ および $\frac{dx}{dt} = \frac{t^2 + 2}{2t^2}$ が与えられています。この情報を用いて、積分の残りの部分を計算し、最終的な結果を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた積分を $t$ に関する積分に変換します。

$\int \sqrt{x + \sqrt{x^2 + 2}} \, dx = \int \sqrt{t} \frac{dx}{dt} \, dt$

$\frac{dx}{dt} = \frac{t^2 + 2}{2t^2}$ であるから、

$\int \sqrt{t} \frac{t^2 + 2}{2t^2} \, dt = \int \sqrt{t} \frac{t^2 + 2}{2t^2} \, dt = \int \frac{t^{1/2} (t^2 + 2)}{2t^2} \, dt = \frac{1}{2} \int \frac{t^2 + 2}{t^{3/2}} \, dt$

積分の中身を整理します。

$\frac{1}{2} \int \left( \frac{t^2}{t^{3/2}} + \frac{2}{t^{3/2}} \right) dt = \frac{1}{2} \int \left( t^{1/2} + 2t^{-3/2} \right) dt$

それぞれの項を積分します。

$\frac{1}{2} \left[ \int t^{1/2} \, dt + 2 \int t^{-3/2} \, dt \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^{3/2}}{3/2} + 2 \cdot \frac{t^{-1/2}}{-1/2} \right] + C$

これを整理します。

$\frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} - 4 t^{-1/2} \right] + C = \frac{1}{3} t^{3/2} - 2 t^{-1/2} + C$

$t = x + \sqrt{x^2 + 2}$ を代入します。

$\frac{1}{3} (x + \sqrt{x^2 + 2})^{3/2} - 2 (x + \sqrt{x^2 + 2})^{-1/2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} (x + \sqrt{x^2 + 2})^{3/2} - 2 (x + \sqrt{x^2 + 2})^{-1/2} + C$