定積分 $\int_{-2}^{2} (x-1)(2x^2 - 3x + 1) dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{2} (x-1)(2x^2 - 3x + 1) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開する。

$(x-1)(2x^2 - 3x + 1) = 2x^3 - 3x^2 + x - 2x^2 + 3x - 1 = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1$

次に、定積分を計算する。

$\int_{-2}^{2} (2x^3 - 5x^2 + 4x - 1) dx$

積分を分けて考える。

$\int_{-2}^{2} 2x^3 dx - \int_{-2}^{2} 5x^2 dx + \int_{-2}^{2} 4x dx - \int_{-2}^{2} 1 dx$

奇関数の積分は0になる。つまり、$\int_{-2}^{2} 2x^3 dx = 0$ と $\int_{-2}^{2} 4x dx = 0$.

したがって、

$\int_{-2}^{2} (2x^3 - 5x^2 + 4x - 1) dx = - \int_{-2}^{2} 5x^2 dx - \int_{-2}^{2} 1 dx$

さらに、偶関数の性質を用いると、

$\int_{-2}^{2} 5x^2 dx = 2 \int_{0}^{2} 5x^2 dx$

$\int_{-2}^{2} 1 dx = 2 \int_{0}^{2} 1 dx$

したがって、

$\int_{-2}^{2} (2x^3 - 5x^2 + 4x - 1) dx = - 2 \int_{0}^{2} 5x^2 dx - 2 \int_{0}^{2} 1 dx$

$= -2 \left[ \frac{5}{3} x^3 \right]_0^2 - 2 \left[ x \right]_0^2$

$= -2 \left( \frac{5}{3} \cdot 2^3 \right) - 2 (2)$

$= -2 \left( \frac{40}{3} \right) - 4$

$= - \frac{80}{3} - \frac{12}{3}$

$= - \frac{92}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{92}{3}$