与えられた関数の第n次導関数を求める問題です。 (1) $y=e^{2-x}$ (2) $y=x^n$ (3) $y=xe^x$

1. 問題の内容

与えられた関数の第n次導関数を求める問題です。

(1) $y=e^{2-x}$

(2) $y=x^n$

(3) $y=xe^x$

2. 解き方の手順

(1) $y=e^{2-x}$の場合

$y' = -e^{2-x}$

$y'' = e^{2-x}$

$y''' = -e^{2-x}$

よって、$y^{(n)} = (-1)^n e^{2-x}$

(2) $y=x^n$の場合

$y' = nx^{n-1}$

$y'' = n(n-1)x^{n-2}$

$y''' = n(n-1)(n-2)x^{n-3}$

一般に、$y^{(k)} = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)x^{n-k}$

したがって、$y^{(n)} = n(n-1)(n-2)...(n-n+1)x^{n-n} = n!$

$y^{(n+1)} = 0$

(3) $y=xe^x$の場合

$y' = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

$y'' = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$

$y''' = e^x + (x+2)e^x = (x+3)e^x$

帰納的に$y^{(n)} = (x+n)e^x$と予想できる。

数学的帰納法で示す。

i) n=1の時、$y'=(x+1)e^x$なので成り立つ。

ii) n=kの時、$y^{(k)}=(x+k)e^x$が成り立つと仮定する。

$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx}y^{(k)} = \frac{d}{dx}(x+k)e^x = e^x + (x+k)e^x = (x+k+1)e^x$

よって、n=k+1の時も成り立つ。

したがって、$y^{(n)} = (x+n)e^x$

3. 最終的な答え

(1) $y^{(n)} = (-1)^n e^{2-x}$

(2) $y^{(n)} = n!$

(3) $y^{(n)} = (x+n)e^x$