問題は、$\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx$ を、$\sqrt{1+x^2} = t$ と置換して解くことです。

1. 問題の内容

問題は、$\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx$ を、$\sqrt{1+x^2} = t$ と置換して解くことです。

2. 解き方の手順

$\sqrt{1+x^2} = t$ とおくと、$x^2 = t^2 - 1$ となります。

この式を $x$ で微分すると、$2x dx = 2t dt$ となり、$x dx = t dt$ が得られます。

$\int x^3 \sqrt{1+x^2} dx$ を書き換えると、

$\int x^2 \sqrt{1+x^2} x dx = \int (t^2-1) t \cdot t dt = \int (t^4 - t^2) dt$ となります。

$\int (t^4 - t^2) dt = \int t^4 dt - \int t^2 dt = \frac{1}{5} t^5 - \frac{1}{3} t^3 + C$ となります。

$t = \sqrt{1+x^2}$ を代入すると、

$\frac{1}{5} (\sqrt{1+x^2})^5 - \frac{1}{3} (\sqrt{1+x^2})^3 + C = \frac{1}{5} (1+x^2)^{5/2} - \frac{1}{3} (1+x^2)^{3/2} + C$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{5} (1+x^2)^{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3} (1+x^2)^{\frac{3}{2}} + C$