平均値の定理を用いて、$a < b$ のとき、$e^a < \frac{e^b - e^a}{b - a} < e^b$ を証明する。

1. 問題の内容

平均値の定理を用いて、$a < b$ のとき、$e^a < \frac{e^b - e^a}{b - a} < e^b$ を証明する。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = e^x$ を考える。$f(x)$ はすべての実数 $x$ で微分可能であり、導関数は $f'(x) = e^x$ である。

区間 $[a, b]$ で平均値の定理を適用すると、

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$$

を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に存在する。

この場合、$f(x) = e^x$ なので、

$$\frac{e^b - e^a}{b - a} = e^c$$

となる。

ここで、$a < c < b$ であるから、$e^x$ が単調増加関数であることを用いると、

$$e^a < e^c < e^b$$

が成り立つ。

したがって、

$$e^a < \frac{e^b - e^a}{b - a} < e^b$$

が証明された。

3. 最終的な答え

$a < b$ のとき、$e^a < \frac{e^b - e^a}{b - a} < e^b$ が成り立つ。