関数 $f(x) = x^3$ と区間 $[1, 3]$ について、平均値の定理を満たす $c$ を求める問題です。平均値の定理とは、関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で、開区間 $(a, b)$ で微分可能であるとき、 $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に少なくとも1つ存在するというものです。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3$ と区間 $[1, 3]$ について、平均値の定理を満たす $c$ を求める問題です。平均値の定理とは、関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で、開区間 $(a, b)$ で微分可能であるとき、

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に少なくとも1つ存在するというものです。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^3$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2$

次に、区間 $[1, 3]$ における平均変化率を計算します。

$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{3^3 - 1^3}{3 - 1} = \frac{27 - 1}{2} = \frac{26}{2} = 13$

したがって、平均値の定理より、

$f'(c) = 3c^2 = 13$

となる $c$ を求めます。

$c^2 = \frac{13}{3}$

$c = \pm \sqrt{\frac{13}{3}}$

ここで、$1 < c < 3$ を満たす $c$ を選びます。

$\sqrt{\frac{13}{3}} \approx \sqrt{4.33} \approx 2.08$ であり、 $1 < \sqrt{\frac{13}{3}} < 3$ を満たします。

$-\sqrt{\frac{13}{3}}$ は負の値なので、$1 < c < 3$ を満たしません。

3. 最終的な答え

$c = \sqrt{\frac{13}{3}}$