与えられた関数と区間について、平均値の定理を満たす $c$ の値を求める。具体的には以下の2つの問題がある。 (1) $f(x) = x^3 - 3x^2$, 区間 $[-2, 1]$ (2) $f(x) = e^x$, 区間 $[0, 1]$

1. 問題の内容

与えられた関数と区間について、平均値の定理を満たす $c$ の値を求める。具体的には以下の2つの問題がある。

(1) $f(x) = x^3 - 3x^2$, 区間 $[-2, 1]$

(2) $f(x) = e^x$, 区間 $[0, 1]$

2. 解き方の手順

平均値の定理は、関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で、開区間 $(a, b)$ で微分可能であるとき、

$$$$

\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)

$$$$

を満たす $c$ が開区間 $(a, b)$ に少なくとも1つ存在する、というものである。

(1) $f(x) = x^3 - 3x^2$, 区間 $[-2, 1]$ の場合：

$f(1) = 1^3 - 3(1^2) = 1 - 3 = -2$

$f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 = -8 - 12 = -20$

$\frac{f(1) - f(-2)}{1 - (-2)} = \frac{-2 - (-20)}{1 + 2} = \frac{18}{3} = 6$

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

$f'(c) = 3c^2 - 6c$

$3c^2 - 6c = 6$

$3c^2 - 6c - 6 = 0$

$c^2 - 2c - 2 = 0$

$c = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

$c = 1 + \sqrt{3} \approx 2.732 > 1$ であるから、区間 $(-2, 1)$ に含まれない。

$c = 1 - \sqrt{3} \approx -0.732$ であるから、区間 $(-2, 1)$ に含まれる。

(2) $f(x) = e^x$, 区間 $[0, 1]$ の場合：

$f(1) = e^1 = e$

$f(0) = e^0 = 1$

$\frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \frac{e - 1}{1} = e - 1$

$f'(x) = e^x$

$f'(c) = e^c$

$e^c = e - 1$

$c = \ln(e - 1)$

$e - 1 \approx 2.718 - 1 = 1.718$

$c = \ln(e - 1) \approx \ln(1.718) \approx 0.5413$

$0 < 0.5413 < 1$ であるから、区間 $(0, 1)$ に含まれる。

3. 最終的な答え

(1) $c = 1 - \sqrt{3}$

(2) $c = \ln(e - 1)$