問題1.2は二つの部分からなります。 (1) $k$を正の整数とし、$a>1$のとき、$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n^k} = \infty$ を示す。 (2) $0<a<1$のとき、$\lim_{n \to \infty} n^k a^n = 0$ を示す。

1. 問題の内容

問題1.2は二つの部分からなります。

(1) $k$を正の整数とし、$a>1$のとき、$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n^k} = \infty$ を示す。

(2) $0<a<1$のとき、$\lim_{n \to \infty} n^k a^n = 0$ を示す。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n^k} = \infty$ を示す。

$a > 1$なので、$a = 1 + h$（$h > 0$）と書ける。二項定理より、

$a^n = (1+h)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} h^i > \binom{n}{k+1}h^{k+1}$

$\binom{n}{k+1} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k)}{(k+1)!}$ であるから、

$a^n > \frac{n(n-1)\cdots(n-k)}{(k+1)!}h^{k+1}$

したがって、

$\frac{a^n}{n^k} > \frac{n(n-1)\cdots(n-k)}{n^k}\frac{h^{k+1}}{(k+1)!} = \frac{n}{n} \frac{n-1}{n} \cdots \frac{n-k}{n} \cdot n \cdot \frac{h^{k+1}}{(k+1)!}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{n-i}{n} \to 1$ ($i=1, 2, \dots, k$) なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n^k} > \lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{h^{k+1}}{(k+1)!} = \infty$

ゆえに、$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n^k} = \infty$

(2) $\lim_{n \to \infty} n^k a^n = 0$ を示す。

$0 < a < 1$ のとき、$\frac{1}{a} > 1$ である。

$b = \frac{1}{a}$ とおくと、$b > 1$ である。

$\lim_{n \to \infty} n^k a^n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{b^n}$

ここで、$b > 1$ であるから、(1) の結果を用いると、

$\lim_{n \to \infty} \frac{b^n}{n^k} = \infty$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{b^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{b^n}{n^k}} = 0$

ゆえに、$\lim_{n \to \infty} n^k a^n = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n^k} = \infty$

(2) $\lim_{n \to \infty} n^k a^n = 0$