与えられた積分を計算する問題です。 $\int \frac{x(x^4 + x^2 + 1)}{x^4 + 1} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。

$\int \frac{x(x^4 + x^2 + 1)}{x^4 + 1} dx$

2. 解き方の手順

まず、分子を展開します。

$\int \frac{x^5 + x^3 + x}{x^4 + 1} dx$

次に、分子を $x^4+1$ で割ります。

$x^5 + x^3 + x = x(x^4 + 1) + x^3$

したがって、

$\frac{x^5 + x^3 + x}{x^4 + 1} = \frac{x(x^4 + 1) + x^3}{x^4 + 1} = x + \frac{x^3}{x^4 + 1}$

与えられた積分は、次のようになります。

$\int (x + \frac{x^3}{x^4 + 1}) dx = \int x dx + \int \frac{x^3}{x^4 + 1} dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1$

次に、$\int \frac{x^3}{x^4 + 1} dx$ を計算します。

$u = x^4 + 1$ と置換します。

$du = 4x^3 dx$

$\frac{1}{4} du = x^3 dx$

したがって、

$\int \frac{x^3}{x^4 + 1} dx = \int \frac{1}{u} \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{4} \ln |u| + C_2 = \frac{1}{4} \ln |x^4 + 1| + C_2$

元の積分は、

$\int \frac{x(x^4 + x^2 + 1)}{x^4 + 1} dx = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{4} \ln |x^4 + 1| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{2} + \frac{1}{4} \ln(x^4 + 1) + C$

（$x^4 + 1$ は常に正なので絶対値をはずしました。）