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導関数 $F'(x) = 3x^2 - 4$ と条件 $F(-1) = 5$ を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。

解析学積分導関数不定積分初期条件
2025/6/30

1. 問題の内容

導関数 F′(x)=3x2−4F'(x) = 3x^2 - 4 と条件 F(−1)=5F(-1) = 5 を満たす関数 F(x)F(x) を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、F′(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) の一般形を求めます。
F(x)=∫F′(x)dx=∫(3x2−4)dxF(x) = \int F'(x) dx = \int (3x^2 - 4) dx
∫3x2dx=x3\int 3x^2 dx = x^3
∫−4dx=−4x\int -4 dx = -4x
したがって、
F(x)=x3−4x+CF(x) = x^3 - 4x + C
ここで、CC は積分定数です。
次に、F(−1)=5F(-1) = 5 という条件を使って積分定数 CC を求めます。
F(−1)=(−1)3−4(−1)+C=−1+4+C=3+CF(-1) = (-1)^3 - 4(-1) + C = -1 + 4 + C = 3 + C
F(−1)=5F(-1) = 5 より、
3+C=53 + C = 5
C=5−3=2C = 5 - 3 = 2
したがって、C=2C = 2 を F(x)=x3−4x+CF(x) = x^3 - 4x + C に代入すると、F(x)F(x) が求まります。

3. 最終的な答え

F(x)=x3−4x+2F(x) = x^3 - 4x + 2

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