以下の3つの関数について、最大値と最小値を求める問題です。 (1) $f(x) = x \log x$ (2) $f(x) = x - \sqrt{1-x^2}$ (3) $f(x) = x + e^{-x}$

1. 問題の内容

以下の3つの関数について、最大値と最小値を求める問題です。

(1) $f(x) = x \log x$

(2) $f(x) = x - \sqrt{1-x^2}$

(3) $f(x) = x + e^{-x}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x \log x$

まず定義域を確認します。対数関数を含むため、$x > 0$ です。

次に、微分を計算します。

$f'(x) = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$\log x + 1 = 0$

$\log x = -1$

$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$

$f'(x)$ の符号を調べます。

$0 < x < \frac{1}{e}$ のとき、$\log x < -1$ より $f'(x) < 0$

$x > \frac{1}{e}$ のとき、$\log x > -1$ より $f'(x) > 0$

したがって、$x = \frac{1}{e}$ で極小値を取ります。

$f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \log (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (-1) = -\frac{1}{e}$

$x \to +0$ のとき、$f(x) \to 0$

$x \to +\infty$ のとき、$f(x) \to +\infty$

よって、最小値は $-\frac{1}{e}$ であり、最大値は存在しません。

(2) $f(x) = x - \sqrt{1-x^2}$

まず定義域を確認します。根号内が非負である必要があるので、$1-x^2 \ge 0$ より $-1 \le x \le 1$ です。

次に、微分を計算します。

$f'(x) = 1 - \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = 1 + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$1 + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = 0$

$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = -1$

$x = -\sqrt{1-x^2}$

$x^2 = 1 - x^2$

$2x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のみ条件を満たします。

$f(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{1-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$

$f(-1) = -1$

$f(1) = 1$

よって、最大値は$1$ (when $x=1$), 最小値は$-\sqrt{2}$ (when $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$)です。

(3) $f(x) = x + e^{-x}$

定義域はすべての実数です。

$f'(x) = 1 - e^{-x}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$1 - e^{-x} = 0$

$e^{-x} = 1$

$-x = 0$

$x = 0$

$f'(x)$ の符号を調べます。

$x < 0$ のとき、$e^{-x} > 1$ より $f'(x) < 0$

$x > 0$ のとき、$e^{-x} < 1$ より $f'(x) > 0$

したがって、$x = 0$ で極小値を取ります。

$f(0) = 0 + e^{-0} = 1$

$x \to -\infty$ のとき、$f(x) \to +\infty$

$x \to +\infty$ のとき、$f(x) \to +\infty$

よって、最小値は $1$ であり、最大値は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 最大値：なし, 最小値：$-\frac{1}{e}$

(2) 最大値：$1$, 最小値：$-\sqrt{2}$

(3) 最大値：なし, 最小値：$1$