正の偶数の列 $2, 4, 6, \dots$ を、第 $n$ 群が $n$ 個の数を含むように群に分ける。 このとき、第12群の3番目の数は何か、また、472が第何群の何番目の数であるかを求める。

1. 問題の内容

正の偶数の列 $2, 4, 6, \dots$ を、第 $n$ 群が $n$ 個の数を含むように群に分ける。

このとき、第12群の3番目の数は何か、また、472が第何群の何番目の数であるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、第 $n$ 群の最初の数が、数列の何番目になるかを考える。第 $n-1$ 群までの項数の合計は $1 + 2 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$ である。

したがって、第 $n$ 群の最初の数は、数列の $\frac{(n-1)n}{2} + 1$ 番目である。

第12群の3番目の数を求めるには、まず第12群の最初の数を求める。

第11群までの項数の合計は $\frac{11 \times 12}{2} = 66$ である。

したがって、第12群の最初の数は、数列の67番目であり、$2 \times 67 = 134$ である。

第12群の3番目の数は、$134 + 2 \times (3-1) = 134 + 4 = 138$ である。

次に、472が第何群の何番目の数であるかを考える。

472は $2 \times 236$ なので、数列の236番目の数である。

第 $n-1$ 群までの項数の合計が236に近い $n$ を探す。

$\frac{(n-1)n}{2} < 236$ を満たす最大の整数 $n$ を求める。

$n(n-1) < 472$ を満たす最大の整数 $n$ を探すと、 $n = 22$ のとき $22 \times 21 = 462 < 472$ であり、$n = 23$ のとき $23 \times 22 = 506 > 472$ である。

したがって、472は第23群にある。

第22群までの項数の合計は $\frac{22 \times 23}{2} = 253$ ではないので、23群にあるのは正しい。

また、472は第23群の何番目かを計算する。

$236 - \frac{22 \times 23}{2} = 236 - 253 = -17$ではない。どこかで間違えている。

472が236番目の数なので、

$\frac{(n-1)n}{2} + k = 236$ を満たす $n$ と $k$ を見つければ良い。$k$は群の中の番目。

$n=21$のとき、$\frac{20 \times 21}{2} = 210$。$236-210 = 26$。しかし、第21群は21個の数しか含まないので、これはあり得ない。

$n=22$のとき、$\frac{21 \times 22}{2} = 231$。$236-231 = 5$。第22群は22個の数を含むので、472は第22群の5番目の数である。

3. 最終的な答え

第12群の3番目の数は138であり、472は第22群の5番目の数である。