与えられた不定積分 $\int e^x \cos x dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int e^x \cos x dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を2回用いることで解くことができます。

まず、$u = \cos x$ 、$dv = e^x dx$ とすると、$du = -\sin x dx$ 、$v = e^x$ となります。部分積分公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int e^x \cos x dx = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx$

次に、$\int e^x \sin x dx$ を計算します。$u = \sin x$ 、$dv = e^x dx$ とすると、$du = \cos x dx$ 、$v = e^x$ となります。再び部分積分公式を用いると、

$\int e^x \sin x dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx$

これを最初の式に代入します。

$\int e^x \cos x dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x dx$

$\int e^x \cos x dx$ を左辺に移行すると、

$2 \int e^x \cos x dx = e^x \cos x + e^x \sin x$

両辺を2で割ると、

$\int e^x \cos x dx = \frac{1}{2} (e^x \cos x + e^x \sin x) + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\int e^x \cos x dx = \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C$