直線 $y = 4x + a$ と曲線 $y = x^3 - 6x^2 + 13x + 2$ の共有点の個数を、定数 $a$ の値によって分類する問題です。

1. 問題の内容

直線 $y = 4x + a$ と曲線 $y = x^3 - 6x^2 + 13x + 2$ の共有点の個数を、定数 $a$ の値によって分類する問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点の $x$ 座標は、以下の式を満たす $x$ の実数解として与えられます。

$$x^3 - 6x^2 + 13x + 2 = 4x + a$$

この式を変形して、$a$ を分離します。

$$a = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$$

ここで、$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ とおくと、共有点の個数は、$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = a$ の交点の個数に一致します。

$f(x)$ のグラフの概形を調べるために、$f'(x)$ を計算します。

$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は、$x = 1, 3$ です。

増減表は以下のようになります。

| x | ... | 1 | ... | 3 | ... |

| :--- | :-: | :-: | :-: | :-: | :-: |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | | ↓ | | ↑ |

$x = 1$ のとき、$f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6$

$x = 3$ のとき、$f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2$

したがって、$f(x)$ は $x = 1$ で極大値 $6$ をとり、$x = 3$ で極小値 $2$ をとります。

$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = a$ の交点の個数を調べます。

- $a < 2$ のとき、交点は1個

- $a = 2$ のとき、交点は2個

- $2 < a < 6$ のとき、交点は3個

- $a = 6$ のとき、交点は2個

- $a > 6$ のとき、交点は1個

3. 最終的な答え

- $a < 2$ のとき、共有点は1個

- $a = 2$ のとき、共有点は2個

- $2 < a < 6$ のとき、共有点は3個

- $a = 6$ のとき、共有点は2個

- $a > 6$ のとき、共有点は1個