$\frac{x^2-1}{x^3} = \frac{x^2}{x^3} - \frac{1}{x^3} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}$

## 定積分の問題

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1. 問題の内容**

次の4つの定積分の値を求める問題です。

(1) $\int_{1}^{e} \frac{x^2-1}{x^3} dx$

(2) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin 2x \cos 4x dx$

(3) $\int_{0}^{3} |\sqrt{x}-1| dx$

(4) $\int_{-4}^{4} \sqrt{16-x^2} dx$

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2. 解き方の手順**

**(1) $\int_{1}^{e} \frac{x^2-1}{x^3} dx$**

1. 被積分関数を分解します。

$\frac{x^2-1}{x^3} = \frac{x^2}{x^3} - \frac{1}{x^3} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}$

2. 積分を計算します。

$\int (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}) dx = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x^3} dx = \ln|x| - \int x^{-3} dx = \ln|x| - \frac{x^{-2}}{-2} = \ln|x| + \frac{1}{2x^2}$

3. 定積分を計算します。

$\int_{1}^{e} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}) dx = [\ln|x| + \frac{1}{2x^2}]_{1}^{e} = (\ln|e| + \frac{1}{2e^2}) - (\ln|1| + \frac{1}{2(1)^2}) = (1 + \frac{1}{2e^2}) - (0 + \frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2e^2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2e^2}$

**(2) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin 2x \cos 4x dx$**

1. 積和の公式を利用します。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) + \sin(A-B))$

したがって、$\sin 2x \cos 4x = \frac{1}{2} (\sin(2x+4x) + \sin(2x-4x)) = \frac{1}{2} (\sin 6x + \sin(-2x)) = \frac{1}{2} (\sin 6x - \sin 2x)$

2. 積分を計算します。

$\int \frac{1}{2} (\sin 6x - \sin 2x) dx = \frac{1}{2} \int (\sin 6x - \sin 2x) dx = \frac{1}{2} (-\frac{1}{6} \cos 6x + \frac{1}{2} \cos 2x) = -\frac{1}{12} \cos 6x + \frac{1}{4} \cos 2x$

3. 定積分を計算します。

$\int_{-\pi}^{\pi} \sin 2x \cos 4x dx = [-\frac{1}{12} \cos 6x + \frac{1}{4} \cos 2x]_{-\pi}^{\pi} = (-\frac{1}{12} \cos 6\pi + \frac{1}{4} \cos 2\pi) - (-\frac{1}{12} \cos (-6\pi) + \frac{1}{4} \cos (-2\pi)) = (-\frac{1}{12} + \frac{1}{4}) - (-\frac{1}{12} + \frac{1}{4}) = 0$

別解：

$\sin 2x$は奇関数、$\cos 4x$は偶関数なので、$\sin 2x \cos 4x$は奇関数。奇関数の積分区間が$-\pi$から$\pi$のような対称な区間なので、積分値は0。

**(3) $\int_{0}^{3} |\sqrt{x}-1| dx$**

1. 絶対値を外すために積分区間を分割します。

$\sqrt{x} - 1 = 0$ となるのは $x = 1$ のとき。

$0 \le x < 1$ のとき $|\sqrt{x}-1| = 1 - \sqrt{x}$

$1 \le x \le 3$ のとき $|\sqrt{x}-1| = \sqrt{x} - 1$

2. 積分を計算します。

$\int_{0}^{3} |\sqrt{x}-1| dx = \int_{0}^{1} (1-\sqrt{x}) dx + \int_{1}^{3} (\sqrt{x}-1) dx$

$\int (1 - \sqrt{x}) dx = x - \int x^{\frac{1}{2}} dx = x - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = x - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$

$\int (\sqrt{x} - 1) dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - x$

3. 定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (1-\sqrt{x}) dx = [x - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} = (1 - \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}}) - (0 - 0) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

$\int_{1}^{3} (\sqrt{x}-1) dx = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - x]_{1}^{3} = (\frac{2}{3}(3)^{\frac{3}{2}} - 3) - (\frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}} - 1) = (\frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} - 3) - (\frac{2}{3} - 1) = (2\sqrt{3} - 3) - (-\frac{1}{3}) = 2\sqrt{3} - 3 + \frac{1}{3} = 2\sqrt{3} - \frac{8}{3}$

$\int_{0}^{3} |\sqrt{x}-1| dx = \frac{1}{3} + 2\sqrt{3} - \frac{8}{3} = 2\sqrt{3} - \frac{7}{3}$

**(4) $\int_{-4}^{4} \sqrt{16-x^2} dx$**

1. これは半径4の円の上半分の面積を表しています。

2. 円の面積は $\pi r^2$ であり、半径4の円の面積は $\pi (4^2) = 16\pi$

したがって、上半分の面積は $\frac{1}{2} \times 16\pi = 8\pi$

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3. 最終的な答え**

(1) $\frac{1}{2} + \frac{1}{2e^2}$

(2) $0$

(3) $2\sqrt{3} - \frac{7}{3}$

(4) $8\pi$