次の8つの定積分を計算します。 (1) $\int_0^2 x^3 dx$ (2) $\int_{-2}^2 (x+2) dx$ (3) $\int_1^2 (3x^2 - 8x + 5) dx$ (4) $\int_{-1}^1 x(x-2) dx$ (5) $\int_{-1}^3 (x+1)(x-3) dx$ (6) $\int_0^3 (t-1)^2 dt$ (7) $\int_{-3}^1 (x+1)^3 dx$ (8) $\int_{-2}^2 x(x+1)(x-1) dx$

はい、承知いたしました。問題の定積分の計算について、それぞれ解説します。

1. 問題の内容

次の8つの定積分を計算します。

(1) $\int_0^2 x^3 dx$

(2) $\int_{-2}^2 (x+2) dx$

(3) $\int_1^2 (3x^2 - 8x + 5) dx$

(4) $\int_{-1}^1 x(x-2) dx$

(5) $\int_{-1}^3 (x+1)(x-3) dx$

(6) $\int_0^3 (t-1)^2 dt$

(7) $\int_{-3}^1 (x+1)^3 dx$

(8) $\int_{-2}^2 x(x+1)(x-1) dx$

2. 解き方の手順

それぞれの定積分を計算します。

(1) $\int_0^2 x^3 dx$

$x^3$ の不定積分は $\frac{1}{4}x^4$ です。

$\int_0^2 x^3 dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 \right]_0^2 = \frac{1}{4}(2^4) - \frac{1}{4}(0^4) = \frac{1}{4}(16) = 4$

(2) $\int_{-2}^2 (x+2) dx$

$x+2$ の不定積分は $\frac{1}{2}x^2 + 2x$ です。

$\int_{-2}^2 (x+2) dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 + 2x \right]_{-2}^2 = (\frac{1}{2}(2^2) + 2(2)) - (\frac{1}{2}(-2)^2 + 2(-2)) = (2+4) - (2-4) = 6 - (-2) = 8$

(3) $\int_1^2 (3x^2 - 8x + 5) dx$

$3x^2 - 8x + 5$ の不定積分は $x^3 - 4x^2 + 5x$ です。

$\int_1^2 (3x^2 - 8x + 5) dx = \left[ x^3 - 4x^2 + 5x \right]_1^2 = (2^3 - 4(2^2) + 5(2)) - (1^3 - 4(1^2) + 5(1)) = (8 - 16 + 10) - (1 - 4 + 5) = 2 - 2 = 0$

(4) $\int_{-1}^1 x(x-2) dx$

$x(x-2) = x^2 - 2x$ です。

$x^2 - 2x$ の不定積分は $\frac{1}{3}x^3 - x^2$ です。

$\int_{-1}^1 x(x-2) dx = \int_{-1}^1 (x^2 - 2x) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - x^2 \right]_{-1}^1 = (\frac{1}{3}(1^3) - (1^2)) - (\frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2) = (\frac{1}{3} - 1) - (-\frac{1}{3} - 1) = -\frac{2}{3} - (-\frac{4}{3}) = -\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

(5) $\int_{-1}^3 (x+1)(x-3) dx$

$(x+1)(x-3) = x^2 - 2x - 3$ です。

$x^2 - 2x - 3$ の不定積分は $\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x$ です。

$\int_{-1}^3 (x+1)(x-3) dx = \int_{-1}^3 (x^2 - 2x - 3) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x \right]_{-1}^3 = (\frac{1}{3}(3^3) - (3^2) - 3(3)) - (\frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1)) = (9 - 9 - 9) - (-\frac{1}{3} - 1 + 3) = -9 - (-\frac{1}{3} + 2) = -9 - \frac{5}{3} = -\frac{27}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{32}{3}$

(6) $\int_0^3 (t-1)^2 dt$

$(t-1)^2 = t^2 - 2t + 1$ です。

$t^2 - 2t + 1$ の不定積分は $\frac{1}{3}t^3 - t^2 + t$ です。

$\int_0^3 (t-1)^2 dt = \int_0^3 (t^2 - 2t + 1) dt = \left[ \frac{1}{3}t^3 - t^2 + t \right]_0^3 = (\frac{1}{3}(3^3) - (3^2) + 3) - (\frac{1}{3}(0^3) - (0^2) + 0) = (9 - 9 + 3) - (0) = 3$

(7) $\int_{-3}^1 (x+1)^3 dx$

$(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ です。

$x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ の不定積分は $\frac{1}{4}x^4 + x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x$ です。

$\int_{-3}^1 (x+1)^3 dx = \int_{-3}^1 (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 + x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x \right]_{-3}^1 = (\frac{1}{4}(1^4) + (1^3) + \frac{3}{2}(1^2) + 1) - (\frac{1}{4}(-3)^4 + (-3)^3 + \frac{3}{2}(-3)^2 + (-3)) = (\frac{1}{4} + 1 + \frac{3}{2} + 1) - (\frac{81}{4} - 27 + \frac{27}{2} - 3) = (\frac{1}{4} + \frac{4}{4} + \frac{6}{4} + \frac{4}{4}) - (\frac{81}{4} - \frac{108}{4} + \frac{54}{4} - \frac{12}{4}) = \frac{15}{4} - \frac{15}{4} = 0$

または、置換積分を使うことができます。

$u = x + 1$ とすると、$du = dx$ です。

積分区間は $x: -3 \to 1$ から $u: -2 \to 2$ に変わります。

$\int_{-3}^1 (x+1)^3 dx = \int_{-2}^2 u^3 du = \left[ \frac{1}{4}u^4 \right]_{-2}^2 = \frac{1}{4}(2^4) - \frac{1}{4}(-2)^4 = \frac{1}{4}(16) - \frac{1}{4}(16) = 4 - 4 = 0$

(8) $\int_{-2}^2 x(x+1)(x-1) dx$

$x(x+1)(x-1) = x(x^2 - 1) = x^3 - x$ です。

$x^3 - x$ の不定積分は $\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2$ です。

$\int_{-2}^2 x(x+1)(x-1) dx = \int_{-2}^2 (x^3 - x) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 \right]_{-2}^2 = (\frac{1}{4}(2^4) - \frac{1}{2}(2^2)) - (\frac{1}{4}(-2)^4 - \frac{1}{2}(-2)^2) = (\frac{1}{4}(16) - \frac{1}{2}(4)) - (\frac{1}{4}(16) - \frac{1}{2}(4)) = (4 - 2) - (4 - 2) = 2 - 2 = 0$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 8

(3) 0

(4) $\frac{2}{3}$

(5) $-\frac{32}{3}$

(6) 3

(7) 0

(8) 0