与えられた3つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \sqrt{x+5}$ (2) $y = \sqrt{4x+1}$ (3) $y = \sqrt[4]{x^3}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \sqrt{x+5}$

(2) $y = \sqrt{4x+1}$

(3) $y = \sqrt[4]{x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{x+5}$ の微分

まず、$\sqrt{x+5}$ を $(x+5)^{\frac{1}{2}}$ と書き換えます。

チェーンルールを使うと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(x+5)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx}(x+5)$

$= \frac{1}{2}(x+5)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+5}}$

(2) $y = \sqrt{4x+1}$ の微分

まず、$\sqrt{4x+1}$ を $(4x+1)^{\frac{1}{2}}$ と書き換えます。

チェーンルールを使うと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(4x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx}(4x+1)$

$= \frac{1}{2}(4x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 4 = \frac{2}{\sqrt{4x+1}}$

(3) $y = \sqrt[4]{x^3}$ の微分

まず、$\sqrt[4]{x^3}$ を $x^{\frac{3}{4}}$ と書き換えます。

べき乗の微分公式を使うと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x+5}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{4x+1}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$