2次関数 $y = x^2 - mx + 2m - 3$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - mx + 2m - 3$ のグラフが $x$ 軸と接するとき、定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフが $x$ 軸と接するということは、2次方程式 $x^2 - mx + 2m - 3 = 0$ が重解を持つということです。

2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が $D = 0$ となることです。

この問題の場合、$a = 1$, $b = -m$, $c = 2m - 3$ なので、判別式は

$D = (-m)^2 - 4(1)(2m - 3) = m^2 - 8m + 12$

$D = 0$ となる $m$ を求めるので、

$m^2 - 8m + 12 = 0$

$(m - 2)(m - 6) = 0$

したがって、$m = 2$ または $m = 6$

次に、それぞれの $m$ の値に対して接点の座標を求めます。

$m = 2$ のとき、$y = x^2 - 2x + 2(2) - 3 = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

よって、$x = 1$ のとき $y = 0$ となり、接点の座標は $(1, 0)$

$m = 6$ のとき、$y = x^2 - 6x + 2(6) - 3 = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$

よって、$x = 3$ のとき $y = 0$ となり、接点の座標は $(3, 0)$

3. 最終的な答え

$m = 2$ のとき、接点の座標は $(1, 0)$

$m = 6$ のとき、接点の座標は $(3, 0)$