2次方程式 $x^2 + (m+2)x + m + 5 = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + (m+2)x + m + 5 = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D=0$ となることです。

与えられた2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (m+2)^2 - 4(m+5)$

$D = m^2 + 4m + 4 - 4m - 20$

$D = m^2 - 16$

$D = 0$ となるのは、

$m^2 - 16 = 0$

$(m-4)(m+4) = 0$

$m = 4, -4$

次に、それぞれの $m$ の値に対して重解を求めます。

(i) $m=4$ のとき

$x^2 + (4+2)x + 4 + 5 = 0$

$x^2 + 6x + 9 = 0$

$(x+3)^2 = 0$

$x = -3$

(ii) $m=-4$ のとき

$x^2 + (-4+2)x -4 + 5 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

3. 最終的な答え

$m = 4$ のとき、重解は $x = -3$

$m = -4$ のとき、重解は $x = 1$