与えられた関数 $y = \frac{2x - 3}{x^2 + 4}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{2x - 3}{x^2 + 4}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

分数関数の微分を行うには、商の法則を使用します。商の法則とは、$y = \frac{u}{v}$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$ となるものです。

この問題では、$u = 2x - 3$ および $v = x^2 + 4$ と置きます。

まず、$u$ と $v$ のそれぞれの導関数を求めます。

$\frac{du}{dx} = 2$

$\frac{dv}{dx} = 2x$

次に、これらの導関数を商の法則の公式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2 + 4)(2) - (2x - 3)(2x)}{(x^2 + 4)^2}$

分子を展開して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 + 8 - (4x^2 - 6x)}{(x^2 + 4)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^2 + 8 - 4x^2 + 6x}{(x^2 + 4)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 + 6x + 8}{(x^2 + 4)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 + 6x + 8}{(x^2 + 4)^2}$