関数 $y = \frac{2x - 3}{x^2 + 4}$ の極限を求めます。具体的には、$x$ が正の無限大または負の無限大に近づくときの $y$ の値を求めます。

解析学極限関数の極限分数関数
2025/6/30

1. 問題の内容

関数 y=2x3x2+4y = \frac{2x - 3}{x^2 + 4} の極限を求めます。具体的には、xx が正の無限大または負の無限大に近づくときの yy の値を求めます。

2. 解き方の手順

xx が無限大に近づくときの極限を計算するために、分子と分母を xx の最高次数である x2x^2 で割ります。
y=2x3x2+4=2xx23x2x2x2+4x2=2x3x21+4x2y = \frac{2x - 3}{x^2 + 4} = \frac{\frac{2x}{x^2} - \frac{3}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{4}{x^2}} = \frac{\frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}}
xx が無限大に近づくと、1/x1/x1/x21/x^2 などは0に近づきます。したがって、
limxy=limx2x3x21+4x2=001+0=01=0\lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{0 - 0}{1 + 0} = \frac{0}{1} = 0
同様に、xx が負の無限大に近づくときも、
limxy=limx2x3x21+4x2=001+0=01=0\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{0 - 0}{1 + 0} = \frac{0}{1} = 0

3. 最終的な答え

limx2x3x2+4=0\lim_{x \to \infty} \frac{2x - 3}{x^2 + 4} = 0
limx2x3x2+4=0\lim_{x \to -\infty} \frac{2x - 3}{x^2 + 4} = 0
したがって、関数 y=2x3x2+4y = \frac{2x - 3}{x^2 + 4} の極限は 0 です。

「解析学」の関連問題

2つの曲線 $y = x^2 - 3$ と $y = \frac{a}{x}$ が共有点Pをもち、点Pにおいて共通の接線をもつとき、定数 $a$ の値を求めよ。また、共有点Pの座標を求めよ。

微分接線曲線連立方程式
2025/6/30

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n + 1$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、この数列の極限 $\...

数列極限漸化式等比数列
2025/6/30

平均値の定理を満たす点 $c$ を求める問題です。平均値の定理は、ある区間 $[a, b]$ で連続かつ $(a, b)$ で微分可能な関数 $f(x)$ に対して、 $$ \frac{f(b) - ...

平均値の定理微分導関数
2025/6/30

関数 $f(x) = x^3$ と区間 $[1, 3]$ について、平均値の定理を満たす $c$ を求める問題です。平均値の定理とは、関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で、開区間 ...

平均値の定理微分導関数関数区間
2025/6/30

数列 $\{ \frac{1 - r^n}{1 + r^n} \}$ の極限を、以下の各場合について求める問題です。 (1) $r > 1$ (2) $r = 1$ (3) $|r| < 1$ (4)...

数列極限収束発散
2025/6/30

3重積分 $I = \iiint_A xy \, dx \, dy \, dz$ を、領域 $A = \{(x, y, z) \mid x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0, x+y+z...

多重積分3重積分積分計算領域
2025/6/30

与えられた二重積分の積分順序を変更し、$ \int_0^1 \int_y^{\sqrt{y}} f(x, y) dx dy = \int_0^1 \int_{x^\beta}^{x^\alpha} f...

多変数関数積分積分順序変更二重積分
2025/6/30

次の3つの極限を求めます。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n - 2^n}{5^n + 2^n}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{4...

極限数列指数関数
2025/6/30

関数 $f(x) = x^3$ について、$f'(2)$ を求めなさい。

微分導関数関数の微分計算
2025/6/30

関数 $f(x) = x^2 - 7x + 4$ について、$f'(1)$ を求めなさい。

微分関数の微分導関数微分係数
2025/6/30