与えられた画像には3つの問題があります。 (1) $S = \frac{1}{1+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}} + \frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$ の値を求めよ。 (2) 正の整数 $n$ に対して、$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$ を求めよ。 (3) (ア) $\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}$ を計算せよ。 (イ) (ア)の結果を利用して、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた画像には3つの問題があります。

(1) $S = \frac{1}{1+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}} + \frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$ の値を求めよ。

(2) 正の整数 $n$ に対して、$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$ を求めよ。

(3) (ア) $\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}$ を計算せよ。

(イ) (ア)の結果を利用して、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 各項を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a}$ を利用します。

$S = \frac{\sqrt{5}-1}{5-1} + \frac{\sqrt{9}-\sqrt{5}}{9-5} + \frac{\sqrt{13}-\sqrt{9}}{13-9} + \cdots + \frac{\sqrt{49}-\sqrt{45}}{49-45}$

$S = \frac{\sqrt{5}-1}{4} + \frac{\sqrt{9}-\sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt{13}-\sqrt{9}}{4} + \cdots + \frac{\sqrt{49}-\sqrt{45}}{4}$

これは等差数列の和なので、

$S = \frac{1}{4} ((\sqrt{5}-1) + (\sqrt{9}-\sqrt{5}) + (\sqrt{13}-\sqrt{9}) + \cdots + (\sqrt{49}-\sqrt{45}))$

$S = \frac{1}{4} (\sqrt{49} - 1) = \frac{1}{4}(7-1) = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

(2) 部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{A}{2k+1} + \frac{B}{2k+3}$

$1 = A(2k+3) + B(2k+1)$

$2k+3 = 0$ より $k = -\frac{3}{2}$ を代入すると、 $1 = B(2(-\frac{3}{2})+1) = B(-2)$ なので $B = -\frac{1}{2}$

$2k+1 = 0$ より $k = -\frac{1}{2}$ を代入すると、 $1 = A(2(-\frac{1}{2})+3) = A(2)$ なので $A = \frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3})$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3})$

$S_n = \frac{1}{2} ((\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \cdots + (\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3}))$

$S_n = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3}) = \frac{1}{2} (\frac{2n+3-3}{3(2n+3)}) = \frac{1}{2} (\frac{2n}{3(2n+3)}) = \frac{n}{3(2n+3)}$

(3) (ア) $\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+2 - k}{k(k+1)(k+2)} = \frac{2}{k(k+1)(k+2)}$

(イ) (ア) の結果から $\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)})$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)})$

$= \frac{1}{2} ((\frac{1}{1\cdot 2} - \frac{1}{2\cdot 3}) + (\frac{1}{2\cdot 3} - \frac{1}{3\cdot 4}) + \cdots + (\frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}))$

$= \frac{1}{2} (\frac{1}{1\cdot 2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)})$

$= \frac{1}{2} (\frac{(n+1)(n+2) - 2}{2(n+1)(n+2)}) = \frac{1}{2} (\frac{n^2+3n+2 - 2}{2(n+1)(n+2)}) = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{3}{2}$

(2) $S_n = \frac{n}{6n+9}$

(3) (ア) $\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{2}{k(k+1)(k+2)}$

(イ) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$