$V_1 - V_2$ が積分で与えられており、その積分を計算し、最終的に$\alpha$ と $a$ の関係式を求める問題です。具体的には、 $V_1 - V_2 = \pi \int_{0}^{\alpha} \left\{ (a^2 - y) - \frac{y}{k} \right\} dy = \frac{\pi k}{2(k+1)} a^4$ が与えられています。

1. 問題の内容

$V_1 - V_2$ が積分で与えられており、その積分を計算し、最終的に$\alpha$ と $a$ の関係式を求める問題です。具体的には、

$V_1 - V_2 = \pi \int_{0}^{\alpha} \left\{ (a^2 - y) - \frac{y}{k} \right\} dy = \frac{\pi k}{2(k+1)} a^4$

が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$\int_{0}^{\alpha} \left\{ (a^2 - y) - \frac{y}{k} \right\} dy = \int_{0}^{\alpha} \left\{ a^2 - y - \frac{y}{k} \right\} dy = \int_{0}^{\alpha} \left\{ a^2 - \left( 1 + \frac{1}{k} \right) y \right\} dy$

$= \int_{0}^{\alpha} \left\{ a^2 - \frac{k+1}{k} y \right\} dy$

この積分を計算すると、

$\left[ a^2 y - \frac{k+1}{k} \cdot \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{\alpha} = a^2 \alpha - \frac{k+1}{2k} \alpha^2$

したがって、

$V_1 - V_2 = \pi \left( a^2 \alpha - \frac{k+1}{2k} \alpha^2 \right)$

問題より、

$V_1 - V_2 = \frac{\pi k}{2(k+1)} a^4$

であるから、

$\pi \left( a^2 \alpha - \frac{k+1}{2k} \alpha^2 \right) = \frac{\pi k}{2(k+1)} a^4$

$\pi$ を約分すると、

$a^2 \alpha - \frac{k+1}{2k} \alpha^2 = \frac{k}{2(k+1)} a^4$

両辺に $\frac{2k}{1}$を掛けて、

$2ka^2 \alpha - (k+1) \alpha^2 = \frac{k^2}{k+1} a^4$

$\alpha$ について整理すると、

$(k+1) \alpha^2 - 2ka^2 \alpha + \frac{k^2}{k+1} a^4 = 0$

画像はここまでしか書かれていないため、$\alpha$ について整理した結果までを解答とします。

3. 最終的な答え

$(k+1) \alpha^2 - 2ka^2 \alpha + \frac{k^2}{k+1} a^4 = 0$