与えられた数式を計算する問題です。具体的には、順列 $20P_2$、階乗 $7!$、組み合わせ $8C_4$、組み合わせ $10C_8$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数式を計算する問題です。具体的には、順列 $20P_2$、階乗 $7!$、組み合わせ $8C_4$、組み合わせ $10C_8$ を計算します。

2. 解き方の手順

(2) $20P_2$ は、20個の中から2個を選んで並べる順列の数です。順列の公式は $nPr = \frac{n!}{(n-r)!}$ です。

したがって、$20P_2 = \frac{20!}{(20-2)!} = \frac{20!}{18!} = 20 \times 19 = 380$

(3) $7!$ は7の階乗です。階乗の定義は $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1$ です。

したがって、$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

(4) $8C_4$ は、8個の中から4個を選ぶ組み合わせの数です。組み合わせの公式は $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。

したがって、$8C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

(5) $10C_8$ は、10個の中から8個を選ぶ組み合わせの数です。組み合わせの公式は $nCr = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。また、$nCr = nC(n-r)$ という性質を利用することもできます。

したがって、$10C_8 = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

3. 最終的な答え

(2) $20P_2 = 380$

(3) $7! = 5040$

(4) $8C_4 = 70$

(5) $10C_8 = 45$