与えられた組み合わせの数を計算する問題です。具体的には、8個の中から4個を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは $_8C_4$ と表されます。

## 解答

1. 問題の内容

与えられた組み合わせの数を計算する問題です。具体的には、8個の中から4個を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは $_8C_4$ と表されます。

2. 解き方の手順

組み合わせの計算には、次の公式を使用します。

$_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

ここで、$n!$ は $n$ の階乗を表し、$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$ です。

今回の問題では、$n = 8$、$r = 4$ なので、公式に代入すると、

$_8C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!}$

となります。

階乗を展開して計算します。

$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

したがって、

$_8C_4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{40320}{24 \times 24} = \frac{40320}{576}$

簡約化のために、分子と分母をそれぞれ計算する代わりに、階乗の定義を利用して約分することもできます。

$_8C_4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

$= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{24}$

$= \frac{8}{4 \times 2} \times 7 \times \frac{6}{3} \times 5$

$= 1 \times 7 \times 2 \times 5 = 70$

3. 最終的な答え

$_8C_4 = 70$