与えられた式の分母を有理化する問題です。式は以下の通りです。 $\frac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{7}}$

1. 問題の内容

与えられた式の分母を有理化する問題です。式は以下の通りです。

$\frac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{7}}$

2. 解き方の手順

まず、分母を $(2+\sqrt{3})$ と $-\sqrt{7}$ の二項であるとみなして、共役な複素数 $2+\sqrt{3}+\sqrt{7}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{7}} = \frac{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}{(2+\sqrt{3}-\sqrt{7})(2+\sqrt{3}+\sqrt{7})}$

分母を計算します。

$(2+\sqrt{3}-\sqrt{7})(2+\sqrt{3}+\sqrt{7}) = (2+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 - 7 = 4\sqrt{3}$

したがって、

$\frac{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}{4\sqrt{3}}$

次に、$4\sqrt{3}$ を有理化するために、さらに $\sqrt{3}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{(2+\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}+3+\sqrt{21}}{4\cdot 3} = \frac{2\sqrt{3}+3+\sqrt{21}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{3+2\sqrt{3}+\sqrt{21}}{12}$