以下の問題に答えます。 (1) $a > 0, b > 0$のとき、$(a^{1/2} + a^{1/4}b^{1/4} + b^{1/2})(a^{1/2} - a^{1/4}b^{1/4} + b^{1/2})$を計算せよ。 (2) 次の式の値を求めよ。 (1) $5^{\log_5 7}$ (2) $125^{\log_5 \sqrt{2}}$ (3) $\log_3 2, \log_{27} 6, \frac{2}{3}$の大小を不等号を用いて表せ。 (4) 次の関数の最大値、最小値を求めよ。また、そのときの$x$の値を求めよ。 (1) $y = 4^{x+1} - 2^{x+2} + 2$ ($x \le 2$) (2) $y = (\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 3$ ($1 \le x \le 27$) (5) $\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771$とする。 $(\frac{1}{2})^{100}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。 (6) $\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771$とする。 (1) $\log_{10} 6$の値を求めよ。 (2) $6^{20}$は何桁の整数か。 (3) $6^{20}$の最高位の数字を求めよ。

はい、承知しました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の問題に答えます。

(1) $a > 0, b > 0$のとき、$(a^{1/2} + a^{1/4}b^{1/4} + b^{1/2})(a^{1/2} - a^{1/4}b^{1/4} + b^{1/2})$を計算せよ。

(2) 次の式の値を求めよ。

(1) $5^{\log_5 7}$

(2) $125^{\log_5 \sqrt{2}}$

(3) $\log_3 2, \log_{27} 6, \frac{2}{3}$の大小を不等号を用いて表せ。

(4) 次の関数の最大値、最小値を求めよ。また、そのときの$x$の値を求めよ。

(1) $y = 4^{x+1} - 2^{x+2} + 2$ ($x \le 2$)

(2) $y = (\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 3$ ($1 \le x \le 27$)

(5) $\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771$とする。 $(\frac{1}{2})^{100}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。

(6) $\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771$とする。

(1) $\log_{10} 6$の値を求めよ。

(2) $6^{20}$は何桁の整数か。

(3) $6^{20}$の最高位の数字を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $(a^{1/2} + a^{1/4}b^{1/4} + b^{1/2})(a^{1/2} - a^{1/4}b^{1/4} + b^{1/2})$

$A = a^{1/2} + b^{1/2}, B = a^{1/4}b^{1/4}$とおくと、与式は

$(A + B)(A - B) = A^2 - B^2 = (a^{1/2} + b^{1/2})^2 - (a^{1/4}b^{1/4})^2$

$= a + 2\sqrt{ab} + b - \sqrt{ab} = a + b + \sqrt{ab}$

(2) (1) $5^{\log_5 7} = 7$

(2) $125^{\log_5 \sqrt{2}} = (5^3)^{\log_5 \sqrt{2}} = 5^{3\log_5 \sqrt{2}} = 5^{\log_5 (\sqrt{2})^3} = 5^{\log_5 (2\sqrt{2})} = 2\sqrt{2}$

(3) $\log_3 2, \log_{27} 6, \frac{2}{3}$

$\log_3 2 = \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 3} = \frac{0.3010}{0.4771} \approx 0.6309$

$\log_{27} 6 = \frac{\log_3 6}{\log_3 27} = \frac{\log_3 (2 \cdot 3)}{3} = \frac{\log_3 2 + 1}{3}$

$\log_3 2 < 1$ より、$\log_3 2 = x$ とおくと、$\log_{27} 6 = \frac{x + 1}{3}$

$x \approx 0.6309$ より、$\frac{x + 1}{3} \approx \frac{1.6309}{3} \approx 0.5436$

よって、$\log_{27} 6 < \frac{2}{3}$

$\log_{27} 6 < \log_3 2$となるか確認する。

$\frac{x+1}{3} < x \implies x+1 < 3x \implies 1 < 2x \implies x > \frac{1}{2}$

$\log_3 2 > \frac{1}{2}$であるから、$2 > \sqrt{3} \approx 1.732$なので正しい。

したがって、$\log_{27} 6 < \log_3 2 < \frac{2}{3}$

(4) (1) $y = 4^{x+1} - 2^{x+2} + 2 = 4 \cdot 4^x - 4 \cdot 2^x + 2$ ($x \le 2$)

$t = 2^x$とおくと、$y = 4t^2 - 4t + 2 = 4(t^2 - t) + 2 = 4(t - \frac{1}{2})^2 - 1 + 2 = 4(t - \frac{1}{2})^2 + 1$

$x \le 2$より、$0 < t \le 4$

$t = \frac{1}{2}$のとき最小値1を取る。このとき$x = -1$

$t = 4$のとき最大値$4(4 - \frac{1}{2})^2 + 1 = 4(\frac{7}{2})^2 + 1 = 4 \cdot \frac{49}{4} + 1 = 50$

このとき$x = 2$

最大値50 (x=2)、最小値1 (x=-1)

(2) $y = (\log_3 x)^2 - 4\log_3 x + 3$ ($1 \le x \le 27$)

$t = \log_3 x$とおくと、$y = t^2 - 4t + 3 = (t - 2)^2 - 1$

$1 \le x \le 27$より、$\log_3 1 \le t \le \log_3 27$つまり、$0 \le t \le 3$

$t = 2$のとき最小値-1を取る。このとき$x = 3^2 = 9$

$t = 0$のとき最大値3を取る。このとき$x = 1$

最大値3 (x=1)、最小値-1 (x=9)

(5) $(\frac{1}{2})^{100}$

$\log_{10} (\frac{1}{2})^{100} = 100 \log_{10} (\frac{1}{2}) = 100(\log_{10} 1 - \log_{10} 2) = 100(0 - 0.3010) = -30.10$

$-30.10 = -31 + 0.90$

よって、小数第31位に初めて0でない数字が現れる。

(6) (1) $\log_{10} 6 = \log_{10} (2 \cdot 3) = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$

(2) $6^{20}$は何桁の整数か。

$\log_{10} 6^{20} = 20 \log_{10} 6 = 20(0.7781) = 15.562$

よって、$6^{20}$は16桁の整数。

(3) $6^{20}$の最高位の数字を求めよ。

$\log_{10} 6^{20} = 15.562 = 15 + 0.562$

$10^{0.562} = N$とすると、$log_{10}N = 0.562$

$\log_{10} 3 = 0.4771$

$\log_{10} 4 = 2 \log_{10} 2 = 0.6020$

よって、$3 < N < 4$

$N \approx 3.65$

したがって、最高位の数字は3。

3. 最終的な答え

(1) $a + b + \sqrt{ab}$

(2) (1) 7 (2) $2\sqrt{2}$

(3) $\log_{27} 6 < \log_3 2 < \frac{2}{3}$

(4) (1) 最大値50 (x=2)、最小値1 (x=-1) (2) 最大値3 (x=1)、最小値-1 (x=9)

(5) 小数第31位

(6) (1) 0.7781 (2) 16桁 (3) 3