与えられた指数方程式と不等式を解きます。 (1) $8 \cdot 2^{7-x} = \frac{1}{4}$ (2) $5^{2x+2} > \frac{1}{125}$ (3) $(\frac{1}{2})^{1-x^2} < (2\sqrt{2})^{x-1}$ (4) $3^{2x} - 2 \cdot 3^{x+2} = -81$

1. 問題の内容

与えられた指数方程式と不等式を解きます。

(1) $8 \cdot 2^{7-x} = \frac{1}{4}$

(2) $5^{2x+2} > \frac{1}{125}$

(3) $(\frac{1}{2})^{1-x^2} < (2\sqrt{2})^{x-1}$

(4) $3^{2x} - 2 \cdot 3^{x+2} = -81$

2. 解き方の手順

(1)

まず、両辺を2の累乗で表します。

$8 = 2^3$, $\frac{1}{4} = 2^{-2}$ なので、

$2^3 \cdot 2^{7-x} = 2^{-2}$

$2^{3 + 7 - x} = 2^{-2}$

$2^{10-x} = 2^{-2}$

指数部分を比較して、

$10 - x = -2$

$x = 10 + 2$

$x = 12$

(2)

$5^{2x+2} > \frac{1}{125}$

$\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$ なので、

$5^{2x+2} > 5^{-3}$

指数部分を比較して、

$2x + 2 > -3$

$2x > -5$

$x > -\frac{5}{2}$

(3)

$(\frac{1}{2})^{1-x^2} < (2\sqrt{2})^{x-1}$

$(\frac{1}{2})^{1-x^2} = (2^{-1})^{1-x^2} = 2^{x^2-1}$

$2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$ なので、

$(2\sqrt{2})^{x-1} = (2^{\frac{3}{2}})^{x-1} = 2^{\frac{3}{2}(x-1)}$

したがって、

$2^{x^2-1} < 2^{\frac{3}{2}(x-1)}$

指数部分を比較して、

$x^2 - 1 < \frac{3}{2}(x-1)$

$x^2 - 1 - \frac{3}{2}(x-1) < 0$

$(x-1)(x+1) - \frac{3}{2}(x-1) < 0$

$(x-1)(x+1 - \frac{3}{2}) < 0$

$(x-1)(x - \frac{1}{2}) < 0$

$\frac{1}{2} < x < 1$

(4)

$3^{2x} - 2 \cdot 3^{x+2} = -81$

$3^{2x} - 2 \cdot 3^x \cdot 3^2 = -81$

$(3^x)^2 - 18 \cdot 3^x + 81 = 0$

$y = 3^x$ とおくと、

$y^2 - 18y + 81 = 0$

$(y-9)^2 = 0$

$y = 9$

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$

3. 最終的な答え

(1) $x = 12$

(2) $x > -\frac{5}{2}$

(3) $\frac{1}{2} < x < 1$

(4) $x = 2$