次の2つの2次式を、複素数の範囲で因数分解する。 (1) $x^2 - 4x - 3$ (2) $3x^2 - 2x + 3$

1. 問題の内容

次の2つの2次式を、複素数の範囲で因数分解する。

(1) $x^2 - 4x - 3$

(2) $3x^2 - 2x + 3$

2. 解き方の手順

複素数の範囲で因数分解するためには、まずそれぞれの2次方程式の解を求める。

解を$\alpha$、$\beta$とすると、因数分解の結果は$a(x - \alpha)(x - \beta)$となる。

ここで、$a$は$x^2$の係数である。

(1) $x^2 - 4x - 3 = 0$の解を求める。

解の公式より、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2}$

$x = 2 \pm \sqrt{7}$

よって、$x^2 - 4x - 3 = (x - (2 + \sqrt{7}))(x - (2 - \sqrt{7}))$

(2) $3x^2 - 2x + 3 = 0$の解を求める。

解の公式より、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(3)}}{2(3)}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 36}}{6}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{-32}}{6}$

$x = \frac{2 \pm 4\sqrt{2}i}{6}$

$x = \frac{1 \pm 2\sqrt{2}i}{3}$

よって、$3x^2 - 2x + 3 = 3(x - (\frac{1 + 2\sqrt{2}i}{3}))(x - (\frac{1 - 2\sqrt{2}i}{3}))$

3. 最終的な答え

(1) $(x - (2 + \sqrt{7}))(x - (2 - \sqrt{7}))$

(2) $3(x - (\frac{1 + 2\sqrt{2}i}{3}))(x - (\frac{1 - 2\sqrt{2}i}{3}))$