数列 $2, 5, 14, 41, 122, 365, ...$ の一般項 $a_n$ を求めます。ただし、この数列の階差数列が、初項が1、公比が2の等比数列であるという条件が与えられています。そして、$a_n = \frac{3^n + 4}{5}$の形で答えるように指示があり、3と5の中に入れるべき数値を答えます。

1. 問題の内容

数列 $2, 5, 14, 41, 122, 365, ...$ の一般項 $a_n$ を求めます。ただし、この数列の階差数列が、初項が1、公比が2の等比数列であるという条件が与えられています。そして、$a_n = \frac{3^n + 4}{5}$の形で答えるように指示があり、3と5の中に入れるべき数値を答えます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の階差数列を求めます。

階差数列 $b_n$ は、元の数列の隣り合う項の差で構成されます。

$b_1 = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$

$b_2 = a_3 - a_2 = 14 - 5 = 9$

$b_3 = a_4 - a_3 = 41 - 14 = 27$

$b_4 = a_5 - a_4 = 122 - 41 = 81$

$b_5 = a_6 - a_5 = 365 - 122 = 243$

階差数列は $3, 9, 27, 81, 243, ...$ となり、これは初項3、公比3の等比数列です。したがって、$b_n = 3^n$ と表せます。

数列 $a_n$ の一般項は、 $a_1$ と階差数列の和を用いて表されます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k$

等比数列の和の公式より、$\sum_{k=1}^{n-1} 3^k = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 3}{2}$

$a_n = 2 + \frac{3^n - 3}{2} = \frac{4 + 3^n - 3}{2} = \frac{3^n + 1}{2}$

問題では、$a_n = \frac{3^n + 4}{5}$の形で表現するように指示があり、この形に合わせます。

数列の最初のいくつかの項を計算して、その形に合うように定数を調整します。

$a_1 = (3^1 + 1)/2 = 2$

$a_2 = (3^2 + 1)/2 = 5$

$a_3 = (3^3 + 1)/2 = 14$

与えられた答えの形式は間違っている可能性があります。

問題文には、$a_n = \frac{3^{n} + 1}{2}$ の計算結果が $\frac{3^{n} + 4}{5}$の形になると仮定した場合の空欄を埋めるように指示があります。

しかし、計算すると、$a_n = \frac{3^n + 1}{2}$となります。

問題文に与えられた条件から、$a_n = \frac{3^{n} + 4}{5}$となるような数列を求めることはできません。

したがって、指示された形式で答えることはできません。

与えられた数列の階差数列は、初項が3、公比が3の等比数列です。

3. 最終的な答え

1: 3

2: 3

3: 1

4: 1

5: 2