数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。数列は $2, 5, 14, 41, 122, 365, \dots$ です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。数列は $2, 5, 14, 41, 122, 365, \dots$ です。

2. 解き方の手順

この数列の階差数列を考えます。

$5-2 = 3$

$14-5 = 9$

$41-14 = 27$

$122-41 = 81$

$365-122 = 243$

階差数列は $3, 9, 27, 81, 243, \dots$ となり、これは公比が 3 の等比数列であることがわかります。

したがって、階差数列の一般項は $3^n$ です。数列 $\{a_n\}$ の一般項を $a_n$ とすると、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k \quad (n \geq 2)$

ここで、$a_1 = 2$ であり、等比数列の和の公式から

$\sum_{k=1}^{n-1} 3^k = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = \frac{3^n - 3}{2}$

したがって、

$a_n = 2 + \frac{3^n - 3}{2} = \frac{4 + 3^n - 3}{2} = \frac{3^n + 1}{2}$

これは $n=1$ のときも $a_1 = \frac{3^1+1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ となり成り立つので、$n \geq 1$ に対して、

$a_n = \frac{3^n + 1}{2}$

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = \frac{3^n + 1}{2}$ である。