2次方程式 $x^2 - 3x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の式の値を求めます。 (1) $(\alpha+1)(\beta+1)$ (2) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$ (3) $\alpha^2 + \beta^2$ (4) $\alpha^3 + \beta^3$ (5) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、以下の式の値を求めます。

(1) $(\alpha+1)(\beta+1)$

(2) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$

(3) $\alpha^2 + \beta^2$

(4) $\alpha^3 + \beta^3$

(5) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha \beta = 4$

が得られます。これらを利用して、各式の値を計算していきます。

(1) $(\alpha+1)(\beta+1) = \alpha \beta + \alpha + \beta + 1 = 4 + 3 + 1 = 8$

(2) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \alpha \beta (\alpha + \beta) = 4 \times 3 = 12$

(3) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta = 3^2 - 2 \times 4 = 9 - 8 = 1$

(4) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2) = (\alpha + \beta) [(\alpha + \beta)^2 - 3 \alpha \beta] = 3(3^2 - 3 \times 4) = 3(9 - 12) = 3 \times (-3) = -9$

(5) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta^2 + \alpha^2}{\alpha \beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 8

(2) 12

(3) 1

(4) -9

(5) $\frac{1}{4}$