数列 $2, 5, 14, 41, 122, 365, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。ただし、数列の階差数列が初項1、公比3の等比数列であることがわかっています。与えられた式を利用して、$a_n$ を計算します。

1. 問題の内容

数列 $2, 5, 14, 41, 122, 365, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。ただし、数列の階差数列が初項1、公比3の等比数列であることがわかっています。与えられた式を利用して、$a_n$ を計算します。

2. 解き方の手順

与えられた一般項の式は以下の通りです。

$a_n = \frac{3^n + 4}{5}$

数列の階差数列が初項1、公比3の等比数列であることから、階差数列 $b_n$ は $b_n = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$ と表されます。

数列 $a_n$ の一般項は、 $n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1}$

ここで、$a_1 = 2$ なので、

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1} = 2 + \sum_{k=0}^{n-2} 3^k$

等比数列の和の公式 $\sum_{k=0}^{n-1} r^k = \frac{1-r^n}{1-r}$ を用いると、

$a_n = 2 + \frac{1 - 3^{n-1}}{1-3} = 2 + \frac{1 - 3^{n-1}}{-2} = 2 - \frac{1}{2} + \frac{3^{n-1}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{3^{n-1}}{2} = \frac{3 + 3^{n-1}}{2}$

$a_n = \frac{3 + 3^{n-1}}{2}$

これを問題文に与えられた形に変形します。 $a_n = \frac{3^n + A}{B}$とすると

$a_n = \frac{3^n + 1}{4}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3^n + 1}{4}$