2次方程式 $x^2 - 2ax + 4 = 0$ が与えられた条件を満たすような $a$ の値の範囲を求める。ここでは、(1) 2解がともに1より大きい場合について考える。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2ax + 4 = 0$ が与えられた条件を満たすような $a$ の値の範囲を求める。ここでは、(1) 2解がともに1より大きい場合について考える。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 - 2ax + 4$ とおく。このとき、$f(x) = (x-a)^2 + 4 - a^2$ と変形できる。

したがって、$y = f(x)$ のグラフは、軸が $x = a$、頂点が $(a, 4 - a^2)$ の放物線となる。

2つの解がともに1より大きいという条件を満たすためには、以下の3つの条件が同時に成り立つ必要がある。

* $f(1) > 0$ (精講①)：$x=1$ のときの $y$ の値が正であること。

* $a > 1$ (精講②)：軸の位置が1より大きいこと。

* $4 - a^2 \leq 0$ (精講③)：判別式 $D/4 = a^2 - 4 \geq 0$ であり、これは2解が存在するための条件(重解の場合も含む)に対応する。

それぞれの条件について計算する。

* $f(1) = 1^2 - 2a(1) + 4 = 5 - 2a > 0$ より、$2a < 5$、すなわち $a < \frac{5}{2}$

* $a > 1$

* $4 - a^2 \leq 0$ より、$a^2 \geq 4$、したがって $a \leq -2$ または $a \geq 2$

これらを全て満たす $a$ の範囲を求める。

$a < \frac{5}{2}$ かつ $a > 1$ かつ ($a \leq -2$ または $a \geq 2$)

数直線を用いて考えると、$2 \leq a < \frac{5}{2}$ が得られる。

3. 最終的な答え

$2 \leq a < \frac{5}{2}$