与えられた数列 $\{a_n\}$: 2, 5, 14, 41, 122, 365, ... の一般項を求める。ただし、階差数列が初項1、公比3の等比数列であることがわかっている。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$: 2, 5, 14, 41, 122, 365, ... の一般項を求める。ただし、階差数列が初項1、公比3の等比数列であることがわかっている。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると、与えられた条件から $b_n = 3^{n-1}$ となる。

したがって、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1}$

$a_1 = 2$ であるから、

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1} = 2 + \sum_{k=0}^{n-2} 3^k = 2 + \frac{1 - 3^{n-1}}{1-3} = 2 + \frac{3^{n-1} - 1}{2} = \frac{4 + 3^{n-1} - 1}{2} = \frac{3^{n-1} + 3}{2}$

ただし、$n \ge 2$。 $n=1$ のとき $a_1 = \frac{3^0 + 3}{2} = \frac{1+3}{2} = 2$ となり、この式は $n=1$ のときも成立する。

従って、一般項 $a_n$ は

$a_n = \frac{3^{n-1} + 3}{2}$ と表せる。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3^{n-1} + 3}{2}$