対数方程式 $\log_{\sqrt{3}} x = 4$ を解きます。

## (1) $\log_{\sqrt{3}} x = 4$

1. 問題の内容

対数方程式 $\log_{\sqrt{3}} x = 4$ を解きます。

2. 解き方の手順

対数の定義より、

$x = (\sqrt{3})^4$

となります。

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ なので、

$x = (3^{\frac{1}{2}})^4 = 3^2 = 9$

となります。

真数条件より、$x > 0$ である必要があり、$x=9$ はこれを満たします。

3. 最終的な答え

$x = 9$

## (2) $\log_3(x-3) + \log_3(x+5) = 2$

1. 問題の内容

対数方程式 $\log_3(x-3) + \log_3(x+5) = 2$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、真数条件より、$x-3 > 0$ かつ $x+5 > 0$ が必要です。

これは、$x > 3$ かつ $x > -5$ なので、$x > 3$ が必要条件です。

次に、対数の性質を用いて左辺をまとめます。

$\log_3(x-3) + \log_3(x+5) = \log_3((x-3)(x+5))$

したがって、

$\log_3((x-3)(x+5)) = 2$

対数の定義より、

$(x-3)(x+5) = 3^2 = 9$

$x^2 + 2x - 15 = 9$

$x^2 + 2x - 24 = 0$

$(x+6)(x-4) = 0$

$x = -6, 4$

真数条件 $x > 3$ より、$x = -6$ は不適です。

したがって、$x = 4$ が解の候補となります。

3. 最終的な答え

$x = 4$

## (3) $\log_{\frac{1}{2}}(x-3) > -3$

1. 問題の内容

対数不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x-3) > -3$ を解きます。

2. 解き方の手順

真数条件より、$x-3 > 0$、つまり、$x > 3$ が必要です。

底が1より小さいので、対数を外す際に不等号の向きが変わります。

$x-3 < (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$

$x < 11$

したがって、$3 < x < 11$ が解となります。

3. 最終的な答え

$3 < x < 11$

## (4) $\log_{10}(x-2) + \log_{10}(x-5) \le 2\log_{10}2$

1. 問題の内容

対数不等式 $\log_{10}(x-2) + \log_{10}(x-5) \le 2\log_{10}2$ を解きます。

2. 解き方の手順

真数条件より、$x-2 > 0$ かつ $x-5 > 0$ が必要です。

これは、$x > 2$ かつ $x > 5$ なので、$x > 5$ が必要条件です。

対数の性質を用いて左辺と右辺をまとめます。

$\log_{10}(x-2) + \log_{10}(x-5) = \log_{10}((x-2)(x-5))$

$2\log_{10}2 = \log_{10}2^2 = \log_{10}4$

したがって、

$\log_{10}((x-2)(x-5)) \le \log_{10}4$

底が1より大きいので、対数を外す際に不等号の向きは変わりません。

$(x-2)(x-5) \le 4$

$x^2 - 7x + 10 \le 4$

$x^2 - 7x + 6 \le 0$

$(x-1)(x-6) \le 0$

$1 \le x \le 6$

真数条件 $x > 5$ より、$5 < x \le 6$ が解となります。

3. 最終的な答え

$5 < x \le 6$