問題は、公比が正の等比数列 $\{a_n\}$ と等差数列 $\{b_n\}$ に関するものです。 (1) 等比数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ で表す。 (2) 等差数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を $n$ で表す。また、和 $S_n$ を最大にする自然数 $M$ とそのときの $S_M$ の値を求める。 (3) $a_n > 2025$ を満たす最小の自然数 $N$ を求め、そのとき $\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{b_k b_{k+1}}$ を求める。

1. 問題の内容

問題は、公比が正の等比数列 $\{a_n\}$ と等差数列 $\{b_n\}$ に関するものです。

(1) 等比数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ で表す。

(2) 等差数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を $n$ で表す。また、和 $S_n$ を最大にする自然数 $M$ とそのときの $S_M$ の値を求める。

(3) $a_n > 2025$ を満たす最小の自然数 $N$ を求め、そのとき $\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{b_k b_{k+1}}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列 $\{a_n\}$ について、$a_1 = 2$, $a_4 = 8$ が与えられている。

一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ と表せるので、$a_4 = a_1 r^3 = 2r^3 = 8$ より $r^3 = 4$, よって $r = \sqrt[3]{4} = 2^{\frac{2}{3}}$.

したがって、$a_n = 2(2^{\frac{2}{3}})^{n-1} = 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}(n-1)} = 2^{1 + \frac{2}{3}(n-1)} = 2^{\frac{2n+1}{3}}$.

(2) 等差数列 $\{b_n\}$ について、$b_3 = 25$, $b_5 + b_6 = 40$ が与えられている。

一般項は $b_n = b_1 + (n-1)d$ と表せる。

$b_3 = b_1 + 2d = 25$

$b_5 + b_6 = b_1 + 4d + b_1 + 5d = 2b_1 + 9d = 40$

2つの式を解くと、$2b_1 + 4d = 50$, $2b_1 + 9d = 40$。

引き算して $5d = -10$ より $d = -2$。

$b_1 + 2(-2) = 25$ より $b_1 = 29$。

したがって、$b_n = 29 + (n-1)(-2) = 29 - 2n + 2 = 31 - 2n$.

$S_n$ は $b_n \ge 0$ の範囲で最大になる。$31 - 2n \ge 0$ より $2n \le 31$, $n \le 15.5$。

したがって、$M = 15$。

$S_M = S_{15} = \frac{15}{2}(2b_1 + (15-1)d) = \frac{15}{2}(2(29) + 14(-2)) = \frac{15}{2}(58 - 28) = \frac{15}{2}(30) = 15(15) = 225$.

(3) $a_n > 2025$ より $2^{\frac{2n+1}{3}} > 2025$。両辺の対数をとると、$\frac{2n+1}{3} \log 2 > \log 2025$.

$\frac{2n+1}{3} > \frac{\log 2025}{\log 2} \approx \frac{3.3064}{0.3010} \approx 10.98$

$2n+1 > 32.94$, $2n > 31.94$, $n > 15.97$.

したがって、$N = 16$.

$\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{b_k b_{k+1}} = \sum_{k=1}^{16} \frac{1}{(31-2k)(31-2(k+1))} = \sum_{k=1}^{16} \frac{1}{(31-2k)(29-2k)} = \sum_{k=1}^{16} \frac{1}{2} \frac{(31-2k) - (29-2k)}{(31-2k)(29-2k)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{16} (\frac{1}{29-2k} - \frac{1}{31-2k}) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{16} (\frac{1}{b_{k+1}} - \frac{1}{b_k}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{b_{17}} - \frac{1}{b_1}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{31-2(17)} - \frac{1}{29}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{-3} - \frac{1}{29}) = \frac{1}{2} (-\frac{29+3}{3 \cdot 29}) = \frac{1}{2} (-\frac{32}{87}) = -\frac{16}{87}$.

ただし、問題文の条件「公比は正」より、$a_1=2, a_4=8$ のとき公比は$\sqrt[3]{4}$。そして$a_n>2025$の$n$を求める際に、$n>15.97$より$N=16$。

また$\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{b_kb_{k+1}} = \sum_{k=1}^{16} \frac{1}{(31-2k)(29-2k)} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{16} (\frac{1}{29-2k} - \frac{1}{31-2k}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{27}-\frac{1}{-3}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{27} + \frac{9}{27}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{10}{27} = \frac{5}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2^{\frac{2n+1}{3}}$

(2) $M = 15$, $S_M = 225$

(3) $N = 16$, $\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{b_k b_{k+1}} = \frac{5}{27}$