与えられた10個の方程式または不等式を解く問題です。指数関数、対数関数を含むものが含まれています。 (1) $27^x = \frac{1}{9}$ (2) $27^x \le \frac{1}{81}$ (3) $(\frac{1}{4})^x < \frac{1}{64}$ (4) $(0.2)^{2x-1} \ge \frac{1}{\sqrt[3]{25}}$ (5) $\log_2 x = -5$ (6) $\log_{10} x < 3$ (7) $4^x + 2^{x+1} - 24 = 0$ (8) $16^x - 3 \cdot 4^x - 4 \ge 0$ (9) $\log_2 x + \log_2 (x+3) = 2$ (10) $2 \log_{0.1} (x-1) < \log_{0.1} (7-x)$

1. 問題の内容

与えられた10個の方程式または不等式を解く問題です。指数関数、対数関数を含むものが含まれています。

(1) $27^x = \frac{1}{9}$

(2) $27^x \le \frac{1}{81}$

(3) $(\frac{1}{4})^x < \frac{1}{64}$

(4) $(0.2)^{2x-1} \ge \frac{1}{\sqrt[3]{25}}$

(5) $\log_2 x = -5$

(6) $\log_{10} x < 3$

(7) $4^x + 2^{x+1} - 24 = 0$

(8) $16^x - 3 \cdot 4^x - 4 \ge 0$

(9) $\log_2 x + \log_2 (x+3) = 2$

(10) $2 \log_{0.1} (x-1) < \log_{0.1} (7-x)$

2. 解き方の手順

各問題について、以下のように解きます。

(1) $27^x = \frac{1}{9}$

$3^{3x} = 3^{-2}$

$3x = -2$

$x = -\frac{2}{3}$

(2) $27^x \le \frac{1}{81}$

$3^{3x} \le 3^{-4}$

$3x \le -4$

$x \le -\frac{4}{3}$

(3) $(\frac{1}{4})^x < \frac{1}{64}$

$(\frac{1}{4})^x < (\frac{1}{4})^3$

$x > 3$

(4) $(0.2)^{2x-1} \ge \frac{1}{\sqrt[3]{25}}$

$(\frac{1}{5})^{2x-1} \ge \frac{1}{\sqrt[3]{5^2}}$

$5^{-(2x-1)} \ge 5^{-\frac{2}{3}}$

$-(2x-1) \ge -\frac{2}{3}$

$2x-1 \le \frac{2}{3}$

$2x \le \frac{5}{3}$

$x \le \frac{5}{6}$

(5) $\log_2 x = -5$

$x = 2^{-5}$

$x = \frac{1}{32}$

(6) $\log_{10} x < 3$

$x < 10^3$

$x < 1000$

対数の定義より $x>0$ なので、$0<x<1000$

(7) $4^x + 2^{x+1} - 24 = 0$

$(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 24 = 0$

$y = 2^x$ と置くと

$y^2 + 2y - 24 = 0$

$(y+6)(y-4) = 0$

$y = -6, 4$

$2^x = -6$ は解なし

$2^x = 4$

$x = 2$

(8) $16^x - 3 \cdot 4^x - 4 \ge 0$

$(4^x)^2 - 3 \cdot 4^x - 4 \ge 0$

$y = 4^x$ と置くと

$y^2 - 3y - 4 \ge 0$

$(y-4)(y+1) \ge 0$

$y \le -1$ または $y \ge 4$

$4^x \le -1$ は解なし

$4^x \ge 4$

$x \ge 1$

(9) $\log_2 x + \log_2 (x+3) = 2$

$\log_2 (x(x+3)) = 2$

$x(x+3) = 2^2$

$x^2 + 3x = 4$

$x^2 + 3x - 4 = 0$

$(x+4)(x-1) = 0$

$x = -4, 1$

対数の定義より $x>0$, $x+3>0$ なので、$x=1$

(10) $2 \log_{0.1} (x-1) < \log_{0.1} (7-x)$

$\log_{0.1} (x-1)^2 < \log_{0.1} (7-x)$

底が0.1なので、不等号の向きが変わる。

$(x-1)^2 > 7-x$

$x^2 - 2x + 1 > 7 - x$

$x^2 - x - 6 > 0$

$(x-3)(x+2) > 0$

$x < -2$ または $x > 3$

対数の定義より $x-1 > 0$ なので $x>1$

また、$7-x > 0$ なので $x<7$

したがって、$3<x<7$

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{2}{3}$

(2) $x \le -\frac{4}{3}$

(3) $x > 3$

(4) $x \le \frac{5}{6}$

(5) $x = \frac{1}{32}$

(6) $0 < x < 1000$

(7) $x = 2$

(8) $x \ge 1$

(9) $x = 1$

(10) $3 < x < 7$