2次関数 $f(x) = ax^2 - 4ax + 2a^2 + 3a$ が与えられている。ただし、$a$ は定数である。 (1) $a=1$ のとき、$f(x)$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求める。 (2) $a<0$ のとき、$0 \le x \le 5$ における $f(x)$ の最大値、最小値と、そのときの $x$ の値を求める。 (3) $0 \le x \le 5$ における $f(x)$ の最大値が6になるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = ax^2 - 4ax + 2a^2 + 3a$ が与えられている。ただし、$a$ は定数である。

(1) $a=1$ のとき、$f(x)$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求める。

(2) $a<0$ のとき、$0 \le x \le 5$ における $f(x)$ の最大値、最小値と、そのときの $x$ の値を求める。

(3) $0 \le x \le 5$ における $f(x)$ の最大値が6になるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a=1$ のとき、$f(x) = x^2 - 4x + 2 + 3 = x^2 - 4x + 5$ となる。

平方完成すると、$f(x) = (x-2)^2 - 4 + 5 = (x-2)^2 + 1$。

よって、最小値は $x=2$ のとき $1$。

(2) $f(x) = a(x^2 - 4x) + 2a^2 + 3a = a(x-2)^2 - 4a + 2a^2 + 3a = a(x-2)^2 + 2a^2 - a$。

$a<0$ なので、上に凸のグラフである。軸は $x=2$。

$0 \le x \le 5$ より、$x=0$ または $x=5$ で最大値をとる。

$f(0) = 2a^2 + 3a$

$f(5) = 25a - 20a + 2a^2 + 3a = 2a^2 + 8a$

$f(5) - f(0) = 5a < 0$ であるから、$f(0) > f(5)$。

したがって、最大値は $f(0) = 2a^2 + 3a$ (このとき $x=0$)。

最小値は $f(2) = 2a^2 - a$ (このとき $x=2$)。

(3) $a>0$ の場合、軸 $x=2$ は $0 \le x \le 5$ に含まれるので、$x=5$ において最大値をとるか、$x=0$において最大値を取るか、$x=2$ において最大値をとるか考える

$a>0$ の場合、下に凸のグラフである。軸は $x=2$。

$0 \le x \le 5$ より、$x=0$ または $x=5$ で最大値をとる。

$f(0) = 2a^2 + 3a$

$f(5) = 25a - 20a + 2a^2 + 3a = 2a^2 + 8a$

$f(5) - f(0) = 5a > 0$ であるから、$f(0) < f(5)$。

したがって、最大値は $f(5) = 2a^2 + 8a$ (このとき $x=5$)。

$2a^2 + 8a = 6$ より、$a^2 + 4a - 3 = 0$。

$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2} = -2 \pm \sqrt{7}$。

$a>0$ より、$a = -2 + \sqrt{7}$。

$a<0$ の場合、(2)より、最大値は $f(0) = 2a^2 + 3a$

$2a^2 + 3a = 6$ より、$2a^2 + 3a - 6 = 0$。

$a = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 48}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{57}}{4}$。

$a<0$ より、$a = \frac{-3 - \sqrt{57}}{4}$。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 1 ($x=2$ のとき)

(2) 最大値: $2a^2 + 3a$ ($x=0$ のとき), 最小値: $2a^2 - a$ ($x=2$ のとき)

(3) $a = -2 + \sqrt{7}, \frac{-3 - \sqrt{57}}{4}$