数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ があります。$b_5 = 25$ かつ $b_5 + b_6 = 40$ が与えられています。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ を用いて表します。 (2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を $n$ を用いて表します。また、$S_n$ を最大にする自然数 $n$ を $M$ とするとき、$M$ と $S_M$ の値をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ があります。$b_5 = 25$ かつ $b_5 + b_6 = 40$ が与えられています。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ を用いて表します。

(2) 数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を $n$ を用いて表します。また、$S_n$ を最大にする自然数 $n$ を $M$ とするとき、$M$ と $S_M$ の値をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

まず、$b_6$ を求めます。$b_5 + b_6 = 40$ で $b_5 = 25$ なので、$25 + b_6 = 40$ より、$b_6 = 15$ となります。

数列 $\{b_n\}$ が等差数列であると仮定すると、公差 $d$ は $d = b_6 - b_5 = 15 - 25 = -10$ となります。

したがって、数列 $\{b_n\}$ の一般項は、$b_n = b_1 + (n-1)d$ と表されます。$b_5 = 25$ より、$25 = b_1 + (5-1)(-10) = b_1 - 40$ なので、$b_1 = 65$ となります。

よって、$b_n = 65 + (n-1)(-10) = 65 - 10n + 10 = 75 - 10n$ となります。

$S_n$ が最大となる $n$ を求めるためには、$b_n$ が初めて負になる $n$ を見つけます。

$b_n = 75 - 10n < 0$ を解くと、$10n > 75$ より $n > 7.5$ となります。

したがって、$b_8$ が初めて負の数になるので、$S_n$ を最大にする $n$ は $M=7$ となります。

$S_M = S_7 = \sum_{n=1}^{7} b_n = \sum_{n=1}^{7} (75 - 10n) = 75 \times 7 - 10 \sum_{n=1}^{7} n = 525 - 10 \times \frac{7(7+1)}{2} = 525 - 10 \times \frac{7 \times 8}{2} = 525 - 10 \times 28 = 525 - 280 = 245$

数列 $\{a_n\}$ に関する情報がないため、$a_n$ を求めることはできません。ここでは、$a_n$ を求めることができないことを明示します。

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ の一般項: $a_n$ は与えられた情報からは求められない。

数列 $\{b_n\}$ の一般項: $b_n = 75 - 10n$

$M = 7$

$S_M = 245$