与えられた数学の問題B1を解く。問題B1は5つの小問から構成されており、それぞれ因数分解、不等式、2次関数、順列、箱ひげ図に関する問題である。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題B1を解く。問題B1は5つの小問から構成されており、それぞれ因数分解、不等式、2次関数、順列、箱ひげ図に関する問題である。

2. 解き方の手順

(1) 因数分解

$ax^2 + 2ax + x + 2$を因数分解する。

$ax(x+2) + (x+2) = (ax+1)(x+2)$

(2) 不等式

$-8 \le 3x - 5 \le 4$を解く。

$-8+5 \le 3x \le 4+5$

$-3 \le 3x \le 9$

$-1 \le x \le 3$

したがって、$A = \{x | -1 \le x \le 3\}$

$A \subset B$となるためには、$a \le -1$である必要がある。

(3) 2次関数

$f(x) = 2x^2 - 6x + a$について考える。

$f(x) = 2(x^2 - 3x) + a = 2(x - \frac{3}{2})^2 - 2(\frac{9}{4}) + a = 2(x-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + a$

グラフの軸は$x = \frac{3}{2}$

最小値は $-\frac{9}{2} + a = \frac{1}{2}$より、$a = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

(4) 順列

1から9までの数字から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作る。

全部で$9 \times 8 \times 7 = 504$個

500以上の整数は、百の位が5,6,7,8,9のいずれかである。

百の位が5のとき、$1 \times 8 \times 7 = 56$

百の位が6のとき、$1 \times 8 \times 7 = 56$

百の位が7のとき、$1 \times 8 \times 7 = 56$

百の位が8のとき、$1 \times 8 \times 7 = 56$

百の位が9のとき、$1 \times 8 \times 7 = 56$

したがって、500以上の整数は$5 \times 56 = 280$個

(5) 箱ひげ図

四分位範囲は$Q_3 - Q_1 = 77 - 55 = 22$

選択肢を吟味する。

1. 40点以上50点未満の生徒はちょうど6人いる: 箱ひげ図からは正確な人数はわからないので、誤り。

2. 50点以上の生徒は18人以上いる: 50点は第一四分位数なので、少なくとも75%の生徒は50点以上。24人の75%は18人なので正しい。

3. 70点以上の生徒は12人以上いる: 70点は中央値よりも少し大きい程度なので12人以上とは言い切れないので、誤り。

4. 80点以上の生徒はちょうど6人いる: 箱ひげ図からは正確な人数はわからないので、誤り。

3. 最終的な答え

(1) $(ax+1)(x+2)$

(2) $-1 \le x \le 3$, $a \le -1$

(3) $\frac{3}{2}$, $5$

(4) $504$, $280$

(5) $22$, $2$