$x = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$、$y = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ のとき、次の式の値を求めます。 (1) $x+y$ (2) $xy$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$、$y = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ のとき、次の式の値を求めます。

(1) $x+y$

(2) $xy$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ の値を求めます。$x$ と $y$ をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$

$x+y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5} + \sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

(2) $xy$ の値を求めます。

$xy = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{1}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})} = \frac{1}{7 - 5} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = \sqrt{7}$

(2) $xy = \frac{1}{2}$