多項式 $P(x)$ について、以下の条件が与えられています。 - $P(x)$ は $x-1$ で割り切れる。 - $P(x)$ を $x+2$ で割った余りは $9$ である。 - $P(x)$ のすべての項の係数は実数である。 このとき、以下の問いに答えます。 (1) $P(1)$ と $P(-2)$ の値をそれぞれ求めよ。 (2) $P(x)$ を $x^2 + x - 2$ で割った余りを求めよ。 (3) $P(x)$ は3次の項の係数が1である3次式であり、方程式 $P(x) = 0$ が異なる実数解をちょうど2個もつ。$P(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ について、以下の条件が与えられています。

- $P(x)$ は $x-1$ で割り切れる。

- $P(x)$ を $x+2$ で割った余りは $9$ である。

- $P(x)$ のすべての項の係数は実数である。

このとき、以下の問いに答えます。

(1) $P(1)$ と $P(-2)$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) $P(x)$ を $x^2 + x - 2$ で割った余りを求めよ。

(3) $P(x)$ は3次の項の係数が1である3次式であり、方程式 $P(x) = 0$ が異なる実数解をちょうど2個もつ。$P(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ は $x-1$ で割り切れるので、剰余の定理より $P(1) = 0$ です。

$P(x)$ を $x+2$ で割った余りが $9$ であるので、剰余の定理より $P(-2) = 9$ です。

(2) $P(x)$ を $x^2+x-2$ で割った余りを $ax+b$ とおくと、

$x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$ より、$P(x) = (x-1)(x+2)Q(x) + ax+b$ と表せます。

(1)より、$P(1) = 0$ なので、$a(1)+b = 0$。

$P(-2) = 9$ なので、$a(-2)+b = 9$。

よって、$a+b=0$ かつ $-2a+b=9$。

この連立方程式を解くと、

$-2a+b - (a+b) = 9-0$ より $-3a = 9$。

したがって $a = -3$。

$a+b=0$ より $b = -a = 3$。

よって、余りは $-3x+3$ です。

(3) $P(x)$ は3次の項の係数が1である3次式なので、$P(x) = (x-1)(x+2) (x-c) + (-3x+3)$ と表せます。

$P(x)=(x^2+x-2)(x-c) -3x+3=x^3+(1-c)x^2+(-2-c)x+2c-3x+3=x^3+(1-c)x^2-(c+5)x+2c+3$

$P(x) = 0$ が異なる実数解をちょうど2個もつので、$x=1$ が重解になっているか、または $x=-2$が重解になっているかのどちらかです。

$P(x)$は3次式なので、解は3つあり、$x=1$が重解であれば、$x=1,1,\alpha$ ($\alpha \neq 1$) となり、$x=-2$が重解であれば、$x=-2,-2,\beta$ ( $\beta \neq -2$) となります。

$P(x)=(x-1)(x+2) (x-c) -3x+3$ に$x=1$を代入すると$P(1)= -3(1)+3 =0$

$P(x)=(x-1)(x+2) (x-c) -3x+3$ に$x=-2$を代入すると$P(-2)=-3(-2)+3=9$

$P(x)$ が $(x-1)^2$ を因数に持つとき、

$P(x) = (x-1)^2(x-c)$の形になります。

(2)より$P(x)=(x-1)(x+2)Q(x) -3x+3$ と表せますが、$P(x)=(x-1)^2(x-c)$の形になることはありません。

$P(x) = (x-\alpha)(x-\beta)^2$ の形をしていることを考えます。このとき、重解を持つのは$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$の因数である必要があります。$P(x) = 0$ が異なる実数解を2つ持つことから、解は1と別の解か-2と別の解になります。$x=1$が解であることはわかっているので、$P(x) = (x-1)(x-a)^2$ (a ≠ 1) の形をしていると考えられます。

$P(x)= (x-1) g(x)$なので$g(x) = (x-a)^2$, $P(x) =(x-1)(x-a)^2=x^3 + (-2a-1)x^2 + (a^2 +2a)x -a^2$

係数から3次の項の係数が1より、$x^3$の係数は1なので正しい。

$x^3 + (-2a-1)x^2 + (a^2 +2a)x -a^2 =(x^2+x-2)(x-c) -3x+3 = x^3 + (1-c)x^2 + (-c-5)x +(2c+3)$

$-2a-1 = 1-c$ より $c=2a+2$

$a^2+2a=-c-5$ より $a^2+2a = -2a-2-5$ つまり $a^2+4a+7=0$

$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16-4*7}}{2} = -2 \pm \sqrt{4-7}=-2 \pm i\sqrt{3}$ これは実数解ではないため不適。

もし$P(x)=0$の解が$x= \alpha , \beta , \beta$であり、 $P(x)= (x+2)h(x) + 9$ならば、$P(-2) =9$ となり、 $P(x) = (x+2)h(x)+9$ より、$h(x) =0$。

つまり$h(x) = a(x-a)^2$とすれば、$P(x)= (x+2)(x-a)^2 + 9$ とおくことができる。

$P(x)=x^3-2ax^2+a^2x+2x^2-4ax+2a^2+9 = x^3+ (2-2a)x^2 + (a^2-4a)x + 2a^2+9$

$P(x) = (x-1)(x+2)(x-c) -3x+3 = x^3 + (1-c)x^2 + (-5-c)x + 2c+3$

2-2a = 1-c より $c = 2a-1$

$a^2-4a = -5-c = -5 -2a +1= -4-2a$ より $a^2-2a+4 = 0$

$a= \frac{2\pm \sqrt{4-16}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ これは実数解ではないため不適。

$P(x) = (x-1) (x-a)^2$とはならない

$P(x)=(x-1)(x-\alpha)^2 = (x-1)(x^2-2\alpha x + \alpha^2) = x^3 + (-2\alpha - 1)x^2 + (\alpha^2+2\alpha) x - \alpha^2$

$x=1$のとき$P(x)=0$, 他に重解を持つのはありえない

3. 最終的な答え

(1) $P(1) = 0$, $P(-2) = 9$

(2) $-3x+3$

(3) 該当する $P(x)$ は存在しない