公比が正の等比数列$\{a_n\}$があり、$a_1 = 2$, $a_3 = 8$を満たしている。また、等差数列$\{b_n\}$があり、$b_5 = 25$, $b_5 + b_6 = 40$を満たしている。数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。 (1) 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表せ。 (2) 数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$を用いて表せ。また、$S_n$を最大にする自然数$n$を$M$とする。$M$, $S_M$の値をそれぞれ求めよ。 (3) $a_n > 2025$を満たす最小の自然数$n$を$N$とする。$N$の値を求めよ。また、このとき、 $\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{b_k b_{k+1}}$を求めよ。

1. 問題の内容

公比が正の等比数列$\{a_n\}$があり、$a_1 = 2$, $a_3 = 8$を満たしている。また、等差数列$\{b_n\}$があり、$b_5 = 25$, $b_5 + b_6 = 40$を満たしている。数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。

(1) 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表せ。

(2) 数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$を用いて表せ。また、$S_n$を最大にする自然数$n$を$M$とする。$M$, $S_M$の値をそれぞれ求めよ。

(3) $a_n > 2025$を満たす最小の自然数$n$を$N$とする。$N$の値を求めよ。また、このとき、

$\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{b_k b_{k+1}}$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列$\{a_n\}$は等比数列なので、$a_n = a_1 r^{n-1}$と表せる。$a_1 = 2$, $a_3 = 8$より、

$a_3 = a_1 r^2 = 2r^2 = 8$

$r^2 = 4$

$r = \pm 2$

公比が正であるから、$r = 2$。

したがって、$a_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$。

(2) 数列$\{b_n\}$は等差数列なので、$b_n = b_1 + (n-1)d$と表せる。

$b_5 = b_1 + 4d = 25$

$b_5 + b_6 = b_1 + 4d + b_1 + 5d = 2b_1 + 9d = 40$

$2(b_1 + 4d) + d = 40$

$2(25) + d = 40$

$50 + d = 40$

$d = -10$

$b_1 + 4(-10) = 25$

$b_1 = 65$

したがって、$b_n = 65 + (n-1)(-10) = 65 - 10n + 10 = 75 - 10n$。

$S_n = \frac{n}{2} (2b_1 + (n-1)d) = \frac{n}{2} (2(65) + (n-1)(-10)) = \frac{n}{2} (130 - 10n + 10) = \frac{n}{2} (140 - 10n) = n(70 - 5n) = -5n^2 + 70n$。

$S_n$を最大にする$n$は、$S_n = -5(n^2 - 14n) = -5((n-7)^2 - 49) = -5(n-7)^2 + 245$。

$S_n$は$n=7$で最大値をとる。よって、$M = 7$, $S_M = 245$。

(3) $a_n = 2^n > 2025$

$2^{10} = 1024$, $2^{11} = 2048$より、$n > \log_2 2025$

$N = 11$

$b_k = 75 - 10k$

$b_{k+1} = 75 - 10(k+1) = 65 - 10k$

$\frac{1}{b_k b_{k+1}} = \frac{1}{(75 - 10k)(65 - 10k)} = \frac{1}{10(7.5 - k) \cdot 10(6.5 - k)} = \frac{1}{100} \frac{1}{(7.5 - k)(6.5 - k)}$

$\frac{1}{b_k b_{k+1}} = \frac{1}{10} \left( \frac{1}{65 - 10k} - \frac{1}{75 - 10k} \right)$

$\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{b_k b_{k+1}} = \sum_{k=1}^{11} \frac{1}{10} \left(\frac{1}{65 - 10k} - \frac{1}{75 - 10k}\right) = \frac{1}{10}\sum_{k=1}^{11} \left( \frac{1}{65 - 10k} - \frac{1}{75 - 10k} \right)$

$= \frac{1}{10} \left[ \left( \frac{1}{55} - \frac{1}{65} \right) + \left( \frac{1}{45} - \frac{1}{55} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{-45} - \frac{1}{-35} \right) + \left( \frac{1}{-55} - \frac{1}{-45} \right) \right]$

$= \frac{1}{10} \left[ \frac{1}{55} - \frac{1}{65} + \frac{1}{45} - \frac{1}{55} + ... \frac{1}{-45} - \frac{1}{-35} + \frac{1}{-55} - \frac{1}{-45} \right]$

$= \frac{1}{10} \left[ \frac{1}{65-10(11)} - \frac{1}{75 - 10(1)} \right]$

$= \frac{1}{10} \left(\frac{1}{-45} - \frac{1}{65}\right) = \frac{1}{10} \left(\frac{-65 - 45}{45 \times 65}\right) = \frac{1}{10} \frac{-110}{2925} = \frac{-11}{2925} = -\frac{11}{2925}$

$\frac{1}{b_k b_{k+1}} = \frac{1}{10} \left( \frac{1}{b_{k+1}} - \frac{1}{b_k} \right)$

$\sum_{k=1}^{11} \frac{1}{b_k b_{k+1}} = \frac{1}{10} \sum_{k=1}^{11} \left( \frac{1}{b_{k+1}} - \frac{1}{b_k} \right) = \frac{1}{10} \left(\frac{1}{b_{12}} - \frac{1}{b_1}\right) = \frac{1}{10} \left( \frac{1}{75-120} - \frac{1}{75-10}\right) = \frac{1}{10} \left( \frac{1}{-45} - \frac{1}{65} \right) = \frac{1}{10} \frac{-65 - 45}{45 \times 65} = \frac{1}{10} \frac{-110}{2925} = \frac{-11}{2925} = -\frac{22}{5850}$

$\sum_{k=1}^{11} \frac{1}{b_kb_{k+1}} = \sum_{k=1}^{11} \frac{1}{(75-10k)(65-10k)} = \sum_{k=1}^{11} \frac{1}{10(7.5-k) \cdot 10(6.5-k)} = \frac{1}{100} \sum_{k=1}^{11} \frac{1}{(7.5-k)(6.5-k)}$

$= \frac{1}{10} \sum_{k=1}^{11} \frac{1}{65 - 10k} - \frac{1}{75 - 10k}$

$=\frac{1}{10}\left( -\frac{22}{2925}\right)=-\frac{11}{2925}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2^n$

(2) $b_n = 75 - 10n$, $M = 7$, $S_M = 245$

(3) $N = 11$, $\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{b_k b_{k+1}} = -\frac{11}{2925}$