(1) $-1 \le x \le 1$ のとき、関数 $y = 4^{x+1} - 2^{x+1} + 1$ の最小値と最大値を求める。 (2) $1 \le x \le 8$ のとき、関数 $y = (\log_2 x)^2 - 4\log_2 x + 1$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) $-1 \le x \le 1$ のとき、関数 $y = 4^{x+1} - 2^{x+1} + 1$ の最小値と最大値を求める。

(2) $1 \le x \le 8$ のとき、関数 $y = (\log_2 x)^2 - 4\log_2 x + 1$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$y = 4^{x+1} - 2^{x+1} + 1 = (2^{x+1})^2 - 2^{x+1} + 1$

$t = 2^{x+1}$ とおくと、$-1 \le x \le 1$ より $2^0 \le 2^{x+1} \le 2^2$、つまり $1 \le t \le 4$

$y = t^2 - t + 1 = (t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

$1 \le t \le 4$ の範囲で、$t = 1$ のとき最小値 $y = 1^2 - 1 + 1 = 1$

$t = 4$ のとき最大値 $y = 4^2 - 4 + 1 = 16 - 4 + 1 = 13$

$t = 1$ のとき $2^{x+1} = 1 = 2^0$ より $x+1 = 0$ で $x = -1$

$t = 4$ のとき $2^{x+1} = 4 = 2^2$ より $x+1 = 2$ で $x = 1$

したがって、$-1 \le x \le 1$ のとき、関数 $y = 4^{x+1} - 2^{x+1} + 1$ は $x = -1$ で最小値 $1$、$x = 1$ で最大値 $13$ をとる。

(2)

$y = (\log_2 x)^2 - 4\log_2 x + 1$

$t = \log_2 x$ とおくと、$1 \le x \le 8$ より $\log_2 1 \le \log_2 x \le \log_2 8$、つまり $0 \le t \le 3$

$y = t^2 - 4t + 1 = (t-2)^2 - 3$

$0 \le t \le 3$ の範囲で、$t = 2$ のとき最小値 $y = (2-2)^2 - 3 = -3$

$t = 0$ のとき最大値 $y = (0-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$

$t = 2$ のとき $\log_2 x = 2$ より $x = 2^2 = 4$

$t = 0$ のとき $\log_2 x = 0$ より $x = 2^0 = 1$

したがって、$1 \le x \le 8$ のとき、関数 $y = (\log_2 x)^2 - 4\log_2 x + 1$ は $x=4$ のとき最小値 $-3$ をとり、$x=1$ のとき最大値 $1$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) 最小値は $1$, 最大値は $13$

(2) $x = 4$ のとき最小値 $-3$ をとり、$x = 1$ のとき最大値 $1$ をとる。