$x = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$、 $y = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2+y^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$、 $y = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2+y^2$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ を求める。

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化する。

$x = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{3+2\sqrt{6}+2}{3-2} = 5+2\sqrt{6}$

$y = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{3-2\sqrt{6}+2}{3-2} = 5-2\sqrt{6}$

したがって、

$x+y = (5+2\sqrt{6})+(5-2\sqrt{6}) = 10$

(2) $xy$ を求める。

$xy = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = 1$

(3) $x^2+y^2$ を求める。

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$ を利用する。

$x+y = 10$、 $xy = 1$ なので、

$x^2+y^2 = (10)^2 - 2(1) = 100 - 2 = 98$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 10$

(2) $xy = 1$

(3) $x^2+y^2 = 98$