与えられた2つの4次方程式を解く問題です。 (1) $x^4 + 3x^2 - 10 = 0$ (2) $x^4 - 1 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの4次方程式を解く問題です。

(1) $x^4 + 3x^2 - 10 = 0$

(2) $x^4 - 1 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 = y$ とおくと、与えられた方程式は $y^2 + 3y - 10 = 0$ となります。

この2次方程式を因数分解すると、 $(y + 5)(y - 2) = 0$ となります。

よって、$y = -5$ または $y = 2$ です。

$y = x^2$ より、$x^2 = -5$ または $x^2 = 2$ となります。

$x^2 = -5$ のとき、$x = \pm \sqrt{-5} = \pm \sqrt{5}i$

$x^2 = 2$ のとき、$x = \pm \sqrt{2}$

したがって、$x = \pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{5}i$ となります。

(2)

$x^4 - 1 = 0$ を因数分解すると、 $(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0$ となります。

さらに因数分解すると、 $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) = 0$ となります。

よって、$x - 1 = 0$ または $x + 1 = 0$ または $x^2 + 1 = 0$ です。

$x - 1 = 0$ のとき、$x = 1$

$x + 1 = 0$ のとき、$x = -1$

$x^2 + 1 = 0$ のとき、$x^2 = -1$ より、$x = \pm i$

したがって、$x = 1, -1, i, -i$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = \pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{5}i$

(2) $x = 1, -1, i, -i$